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  1. 2010.04.01 오늘은 '그날' 입니다 (8)
'그날' 이군요.

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피타고라스의 정리

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피타고라스의 정리(문화어: 세평방 정리)는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 기본 정리이다. 이 정리는 평평한 평면, 즉 유클리드 공간 위에서 성립하며, 그 내용은 다음과 같다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓의의 합과 같다.

a2 + b2 = c2

이때 빗변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 각각 a,b라고 하면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

a2 + b2 = c2

이것은 직각삼각형의 두 밑변의 길이를 알면 그로부터 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있음을 의미한다.

피타고라스의 정리는 이러한 관계를 처음 발견·증명한 것으로 알려져 있는 그리스의 수학자 피타고라스를 기념하여 이름붙여졌다.[1]

목차

 [숨기기]

공식의 표현 [편집]

c를 직각삼각형의 빗변의 길이a와 b를 각각 나머지 두 변의 길이라 하면, 다음과 같이 공식으로 나타낼 수 있다.

a^2 + b^2 = c^2\,

또는, c에 대하여 풀이하면 다음과 같다.

 c = \sqrt{a^2 + b^2}\,

c를 알고 있고, 두 변 중 하나의 길이를 알아야 한다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

c^2 - a^2 = b^2\,

또는

c^2 - b^2 = a^2\,

이 방정식으로 직각삼각형의 세 변에 대한 간단한 관계를 알 수 있으므로, 두 변의 길이를 알면 나머지 길이를 알아낼 수 있다. 이 공식을 일반화한 것이 코사인 법칙이며, 이를 이용하면 두 변의 길이와 그 사잇각을 알면 임의의 삼각형의 나머지 변의 길이를 알아낼 수 있다. 두 변이 이루는 각이 직각인 경우 코사인의 법칙은 피타고라스의 원리로 간단히 정리된다.

증명 [편집]

기하학적 증명 [편집]

Proof-Pythagorean-Theorem.svg

오른쪽 그림에서, H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

\mathrm{\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}},\,\ \mathrm{\frac{CB}{AB}=\frac{HB}{CB}}

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

\begin{align}
\mathrm{AC\times AC = AB\times AH} \\
\mathrm{CB\times CB = AB\times HB}
\end{align}

이 두 식을 더하면

\mathrm{AC\times AC+CB\times CB=AB\times AH+AB\times HB=AB\times(AH+HB)=AB\times AB}

이 되고, 따라서

AC2 + BC2 = AB2

가 성립한다.

대수적 증명 [편집]

Pythagoralg.png

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 (a + b)이고, 따라서 넓이는 (a + b)2이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 c2, 네 개의 직각삼각형의 넓이는 \scriptstyle \frac {ab} 2가 된다.

따라서, 전체 넓이는 \scriptstyle c^2 + 4 \times \frac {ab} 2 = c^2 + 2ab가 된다. 그러므로

\begin{align}
(a+b)^2 &= c^2 + 2ab \\
a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\
a^2 + b^2 &= c^2
\end{align}

가 성립한다.

 [편집]

피타고라스 정리의  또한 참이다.

a2 + b2 = c2을 만족하는 임의의 양수 abc에 대해 세 변의 길이가 각각 abc인 삼각형이 항상 존재하며, 변 a와 b사이의 끼인각은 항상 직각이므로 이 삼각형은 직각삼각형이다.

이는 유클리드의 《원론》에서도 찾아볼 수 있다. 이 명제는 코사인 제2법칙이나 귀류법으로 증명할 수 있다.

기타 특징 [편집]

피타고라스의 정리에서, 변 abc 가 모두 정수라면, abc중에서 하나는 반드시 3의 배수이다. 귀류법을 이용하여 증명하면 다음과 같다.

만약 abc 모두 3의 배수가 아닐 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

a=3m \pm1, b=3n \pm1, c=3l \pm1

피타고라스의 정리는 a2 + b2 = c2 이므로 이에 따라 위의 값들을 대입하여 넣으면

(3m \pm1)^2 + (3n \pm1)^2 = (3l \pm1)^2

위의 값들을 전개하면

(9m^2 \pm 6m + 1) + (9n^2 \pm 6n + 1) = (9l^2 \pm 6l + 1)

이를 정리하면

3(3m^2 + 3n^2 \pm 2m \pm2n) + 2 = 3(3l^2 \pm 2l) + 1

좌변은 3으로 나누어서 2가 남지만 우변은 3으로 나누어서 1이 남으므로 모순이다. 따라서 abc 중 하나는 3의 배수여야한다.

주석 [편집]

  1.  최초의 발견에 대해서는 논란이 있다.

같이 보기 [편집]


Q. 이 페이지에서 틀린 것은 하나밖에 없습니다. 그 틀린 부분을 찾으세요.

Good luck~



좀 더 투명한 문제를 만들기 위해 조금 수정했습니다. (21:58)

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  1. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    피타고라스가 발견하고 증명했을리 없잖 (...)

    2010.04.01 15:52
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    하나밖에 없다는게 틀렸다던가...

    2010.04.02 18:09 신고

1 

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