이건 뭐지 -_-;;;

Daily lives 2010. 3. 8. 23:38
과제.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cforall%20A%20%5Cexists%20x%20(x%5Cnotin%20A)

증명하랜다. 귀류법 말고 정공하는 방법이 없나 고민하다가 대우를 사용해보려고 했다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cforall%20x%20%5Cexists%20A(x%5Cnotin%20A)

... 대우가 이거 맞나? 그런데 이건 너무 당연하잖아 -_-

무언가 대우를 잘못 구한 것 같은데 모르겠다.(것보다 표현이 이상한 것 같긴 하지만)



형식언어를 개떡같이 써서 생기는 문제였다. 원래 문제는 이거.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cexists%20A%20%5CRightarrow%20%5Cexists%20x(x%5Cnotin%20A)

어떤 집합 A가 존재한다면 그 집합에 속하지 않는 원소가 존재함을 보이는 것이다. "...for any set A there is some x..."이런 식으로 써놓아서 기호를 잘못 썼다. 뭐 좀 더 엄밀하게 쓰자면 이렇게 되려나?

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cforall%20A%20(%5Cexists%20A)%20%5CRightarrow%20%5Cexists%20x(x%5Cnotin%20A)

대우를 쓰면 당연히 귀류법으로 환원.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cneg%5Cexists%20x(x%5Cnotin%20A)%20%5CRightarrow%20%5Cneg%5Cforall%20A%20(%5Cexists%20A)

A에 속하지 않는 원소가 존재하지 않는다면 존재하는 A는 아니라는 뜻이다.

그런데 맞는지 확신이 서질 않는다. OTL. 그러고보니 이런 말도 생각난다. 적분과 극한이 같이 있을 때 둘의 순서를 바꾸면 계산이 매우 쉬워지는 경우 공학하는 사람은 무작정 바꾸고 보고 수학하는 사람은 이게 되나 고민하다가 시간을 다 보낸다고. -_-;;

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  1. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    흠? 형식언어를 implication 형태로 바꾸신 게 오히려 더 이상한데요. 가장 처음에 제시한 명제가 맞는듯 싶습니다. 그리고 이건 대우를 논하기가 힘들죠. implication이 아니니까.
    (대상영역을 지정해주면 implication하고 quantifier 사용해서 명제함수 결합한 거하고 같아질 수 있는데, 딱히 여기서 의미 있어 보이지는 않습니다.)

    그저 부정해서 막바로 귀류법 쓰시면 될 것 같습니다. 그리고 아무래도 공리에 의해서 그냥 자명한 것 같군요.

    2010.03.09 02:09
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.09 17:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      역시나 대우는 좀 아니죠?

      그냥 '모든 object를 포함하는 집합'을 가정하고 이 녀석이 Comprehension 공리때문에 불가능하다는 것을 보였는데 (집합인 녀석들만 모아놓은 부분집합이 존재하는데 그러면 필연적으로 모든 집합을 원소로 갖는 집합이 탄생해서 공리나 원 집합 둘 중 하나를 포기해야 한다) 딱히 돌아가는 방법은 없는 것 같네요.

  2. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    다만 명제 부정을 잘못하셨는데, p(x) for all x in X의 부정은 there is x in X, then~p(x). there is x in X, then p(x)의 부정은 ~p(x) for all x in X. 그리고 변수가 여러개 끼인 명제는 우선순위가 가장 낮은 바깥 쪽부터 차근차근해주시면 됩니다.
    가령 극한의 정의를 나타내는 입실론-델타식을 예로 들면

    ∀e>0∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0
    iff ∀e>0, [∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0]
    iff ∀e>0, [∃d>0, (∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0)]

    이런 형태니까.

    ~[∀e>0∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0]
    iff ∃e>0, ~[∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0]
    iff ∃e>0∀d>0, ~[∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0]
    iff ∃e>0∀d>0∃x in dom f, ~[0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0]
    iff ∃e>0∀d>0∃x in dom f, (0<|x-a|<d)∧(|f(x)-L|≥0)

    이렇게 됩니다.

    2010.03.09 02:23
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.09 17:58 신고  댓글주소  수정/삭제

      책에는 부정하는 방법을 잘 안 써 놓아서(수리논리는 거의 없다시피 한 책이다 보니 -_-) 어디서 찾아야 하나 고민했는데 이런 도움이...

      그런데

      ∀e>0∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<0

      가 아니라

      ∀e>0∃d>0∀x in dom f, 0<|x-a|<d → |f(x)-L|<e

      가 되지 않나요? 그런데 극한을 입실론-델타로 제대로 배운지는 3년이 넘어가는지라 아리까리한데 -_-;;;

    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.09 21:35  댓글주소  수정/삭제

      오자 맞습니다. 절댓값이 0보다 작다니, 있을 수 없는 일

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.09 21:37 신고  댓글주소  수정/삭제

      d와 e를 바꾸어 쓰려고 했던 저보다는 나은데요 뭘

      (진짜 그렇게 알고 있었던 것 같다는 기분이...-_-;;)

    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.09 21:45  댓글주소  수정/삭제

      그나저나 한정표현은 위치 바꿔주면 큰일납니다. ㅋㅋ 명제의 의미가 전혀 달라지거든요.

  3. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    A에 속하지 않는 원소가 존재하지 않는다면 존재하는 A는 아니라는 뜻이다
    이거보고 러셀집합떠오르면서 없을 서 같은데...
    이거 있으면 러셀집합아닌가요??
    (아직 고딩이라 정식으로 집합론 배운적없어서 더 자세히는 모르겠는데..)

    2010.03.09 18:25 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.09 21:36 신고  댓글주소  수정/삭제

      러셀 패러독스 말하시는거면 그 이유 때문에 존재가 부정되는거 맞아요.

      이것저것 들추고 다니다 보니까 집합론 중에서는 Comprehension 공리를 사용하지 않아 가능한 경우도 있다고 하기는 하지만...

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