'전자기학'에 해당되는 글 4건

  1. 2011.10.03 자기 단극자의 vector potential
  2. 2010.09.20 Electromagnetism in Schrodinger Eqn. (1)
  3. 2009.11.07 Lagrangian in Electromagnetism (4)
  4. 2008.12.08 직관과 포인팅 벡터 (15)
덧글에 찔려서 시작하는 백만년만의 물리 포스팅. 물리 포스팅은 수식 쓰는 시간이 길어서 조금 힘들다. 이번에는 Sakurai의 Modern Quantum Mechanics 140페이지에 등장하는 벡터 포텐셜을 구해보자.

\bold{A}=\frac{1-\cos\theta}{r\sin\theta}\hat\phi

시작은 curvilinear orthogonal coordinate system에서(특히 구면좌표계)의 curl에 대한 표현이다.

\nabla\times\bold{A}=\frac1{uvw}\begin{vmatrix} u\hat{x_1}&v\hat{x_2} &w\hat{x_3} \\ \partial_1&\partial_2 & \partial_3\\ uA_1&vA_2 &wA_3 \end{vmatrix}\\d\bold{s}=udx_1\hat{x_1}+vdx_2\hat{x_2}+wdx_3\hat{x_3}

구면좌표계에서는u=1, v=r, w=r\sin\theta인데, 우리가 원하는 curl의 형태는 \frac1{r^2}\hat{r}이기 때문에 해를 구하기 위해 다음과 같이 어느 정도 단순화된 해를 가정할 수 있다.[각주:1]

\bold{A}=A_\phi \hat\phi\\r\sin\theta{A_\phi}=f(\theta)\\\partial_\theta[{r\sin\theta{A_\phi}}]=\sin\theta

물론 이 방정식을 풀면(적분상수 C는 남겨둔다)

f(\theta)=C-\cos\theta\\\therefore{A_\phi}=\frac{C-\cos\theta}{r\sin\theta}


을 얻는다. C=1로 두면 위에서처럼 음의 z축에서만 폭발하는 vector potential을 만들 수 있고, 내가 구했던 경우는 C=0이었는데 이건 z축에서는 사용이 불가능했다.

\bold{A}=-\frac1{r}\cot\theta\hat\phi 

자기 단극자는 흥미로운 현상이다. 원래 없다는 공리에서 세워진 이론 체계에서 있다는 결론을 도출할 수 있다니 어찌 재미없다고 할 수 있겠는가. 요즘 부대에서 하는 물리 생각의 80% 이상은 이 녀석 생각이다. 잠정적인 결론은 "자기 단극자가 있다면 질량이 없을 것이다"이지만.(그래서 광속으로 이동하는 전하의 전기장에 대해 생각하고 있다.)
  1. 역으로 theta방향 성분만 있는 벡터 포텐셜을 생각할수도 있다. 하지만 이 경우 생기는 문제는 특이점의 집합이 평면이 되어버린다는 것이다. [본문으로]

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Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

\dot{x_i}=\frac{p_i-qA_i}m \\\therefore H=\sum_i\frac1{2m}(p_i-qA_i)^2+q\varphi

이제 Schrodinger equation으로 자기력을 다룰 때 어째서 괴상한 방식으로 자기포텐셜이 도입되었는지 그 유래가 조금은 보일 것이다. 이제 Schrodinger 방정식을 풀어보자. 일반적으로 이 방정식을 풀 때 상태함수는 위치좌표를 기저로 쓰므로 운동량을 적당히 바꾸어 넣는다.

H=\frac1{2m}(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)\cdot(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)+q\varphi

우변의 첫 항이 사실 좀 많이 거슬린다. 계산이 너무 귀찮게 생겼다. 그런데 운동량과 자기포텐셜이 뒤섞여 있는 저 항은 잘 하면 계산하기 쉽게 바꿀 수 있을 것도 같다. 먼저 위의 Hamiltonian을 다시 써보자.

H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi

다음 방정식은 쉽게 보일 수 있다. 이 녀석을 응용할 수 있지 않을까? (F는 f의 역도함수)

\left(\frac{d}{dx}-f(x)\right)g(x)~e^{F(x)}=g'(x)~e^{F(x)}

일단 입자가 a에서 b까지 1차원 경로로 이동하는 경우는 다음과 같이 쓰면 쉽게 정리할 수 있다.

\Psi(x,t)=\Psi_0(x,t)\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

적분이 아직 난감하다고 해도, 미분은 엄청 간편해졌다.

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi\right]\Psi \\=\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0 \\=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\Psi_0\right)

특히, A가 시간과 무관한 경우라면 계산이 엄청나게 간단해진다.

i\hbar\frac{\partial\Psi_0}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0

이제 처음에 등장한 식이 어떻게 얻어졌는지 조금은 보일 것이다.
  1. 실제 확률은 절대값의 제곱을 취하지만, 여기서는 간단히 두 상태의 내적으로 취급하자. [본문으로]

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  1. ㅋ_ㅋ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    berry's phase네
    물론 엄청 간단한 경우지만

    2010.12.24 03:04

2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.

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  1. Favicon of https://j4blog.tistory.com BlogIcon 재준씨  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 보고있자니 왠지 빅뱅이론의 장면이 생각나는군요. 쉘든과 라지가 칠판에 잔뜩 쓰여있는 공식을 노려볼 때 흘러 나오는 'eye of the tiger' -_-a

    2009.11.08 20:49 신고
  2. physics  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전자기학은 상대론적인 이론인데 입자는 비상대론적으로 다루었군요. 실제적으로 꽤 문제가 될 것으로 보이며 계산도 복잡해질것 같습니다. 또 수식적으로는 맞다손 치더라도, action을 구할때 상당히 애를 먹겠군요. 적분구간이 불분명해서요. 그러면 boundary term을 구하기 힘들어지겠죠. 왜냐하면 A와 psi가 test particle의 경로 위에서 정의가 되었는데, 일반적으로 이것은 장 자체의 라그랑지안은 주지 못할것 같군요. 따라서 장의 운동량같은것도 주지 못할걸로 생각됩니다. 장의 라그랑지안 항을 더해줘야 총 라그랑지안이 나올거 같은데... 아시겠지만 이건 1/4 F^2로 주어지죠...

    2010.04.27 01:57
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:07 신고  댓글주소  수정/삭제

      장을 주고 입자의 움직임을 기술하는 고전적인 문제입니다. 학부 수준의 양자물리에서 Bohm-Aharanov 효과나 Zeeman effect를 다룰 때 사용하는 Hamiltonian을 구할 때 쓰는 Lagrangian이구요. Hamiltonian은 Lagrangian의 Legendre 변환이니까요.

      아, 그리고 이 식은 장과 입자의 interaction에 해당하는 Lagrangian이 될 겁니다. 장과 입자 자체의 Lagrangian은 빠져있구요.

生 이론물리 포스트입니다 ^-^;;
아무래도 엔비앙 님만 이해하실듯...ㄷㄷ;;;

포인팅 벡터(Poynting Vector)라는 것이 있어요. 전자기학에서 에너지의 흐름을 나타내는 벡터인데, 많은 경우 이 녀석이 말하는 내용이 직관적으로는 말이 안 됩니다. 가장 대표적인 예로는 열이 발생하고 있는 저항선에서 전기 에너지가 어디서 들어오는가 하는 문제이지요. 직관적으로 생각하면 전기 에너지는 전지에서 전선을 타고 들어와서 열에너지로 빠져나가야 합니다. 전선을 타고 에너지가 흐른다는 생각을 하는 것이지요. 그런데 포인팅 벡터는 전선의 외부에서 전선 속으로 에너지가 흘러 들어온다고 말합니다. 그러니까, 전선을 타고 들어오는 에너지는 하나도 없다는 것이 포인팅 벡터가 말하는 주된 내용입니다. 이건 저번 주 수요일 강의 내용이었지요.(교과서로는 파인만 강의록을 사용하고 있는데, 이 책 참 읽기가...-_-;;)

그날 일이 있어서 맥주 한캔을 빨고(-_-;;) 잠자리에 들다가 갑자기 이런 생각이 들었습니다. '논리적으로 생각하면 에너지는 당연히 전선을 타고 올 수 없구나!'. 원래 떠올린 것은 '전자의 부호를 -가 아닌 +로 센다면' 이었는데, 찾아보니 C-대칭(Charge Conjugation Symmetry-입자를 반입자로 바꾸어도 물리 법칙이 일정하다는 그런 내용입니다. 중력과 전자기력에는 적용되지만 약력에는 적용되지 않는다고 하더군요.)과 전혀 차이가 없는 듯 합니다. 하여튼, 시작해 보겠습니다 ^^;;

먼저, 몇 가지 가정을 할 필요가 있습니다. 첫 가정은 '전하의 부호를 반대로 세어도 전자기학 법칙은 바뀌지 않는다' 이고, 두 번째 가정은 '에너지는 국소적으로 보존된다' 입니다. 첫 가정으로부터 얻어지는 뒤따르는 가정은 '에너지의 흐름은 전하의 부호를 반대로 세어도 바뀌지 않는다'가 되겠지요. 흠... 이건 독립된 가정인가요? 뭐 하여튼 가정은 이쯤에서 끝내고, 적용해 보겠습니다.

먼저 에너지는 전선만 타고 흐를 수 있다고 가정합니다. 그러면 전선에는 전류가 흐르는 방향이 있을 것이고, 전체 에너지의 흐름은 전류의 방향과 (1)평행하거나, (2)역평행(antiparallel)하거나, (3)무관해야 합니다. 여기서 무관하다는 말은 에너지가 모든 점에서 수렴한다거나 모든 점에서 발산한다는 것인데, 이렇게 되면 두번째 가정인 '에너지는 국소적으로 보존된다'에 어긋나게 됩니다. 사실, 에너지 보존 법칙을 쓰지 않더라도 어떻게 해야 모든 점에서 에너지가 수렴하거나 발산하도록 할 수 있는 방법이 있기나 한지 저는 전혀 모르겠네요.(지금은 에너지가 전선만 타고 흐를 수 있다고 가정했기 때문에 그렇습니다.)

그러면 당연히 전체 에너지의 흐름은 전류의 방향과 평행하거나 역평행하다는 결론이 내려집니다. 이제, 전하의 부호를 바꾸어 세 보겠습니다. 그러면 전류의 방향이 역전되고, 에너지의 흐름도 반대가 되겠지요. 그런데 문제는, 이렇게 바꾸어 세기만 했을 뿐인데 에너지의 흐름이 뒤바뀌느냐는 겁니다. '에너지의 흐름은 전하의 부호를 반대로 세어도 바뀌지 않는다'는 가정에 의해서 에너지의 흐름은 전류의 방향과 무관하다는 결론이 얻어집니다. 왜냐하면, 에너지의 흐름이 반대가 되어도 원래 에너지의 흐름과 같으려면 에너지의 흐름은 그 점에 대하여 대칭이 되어야 하기 때문이지요. a=-a의 답이 a=0인 이유와 같다고 생각하시면 됩니다. 그런데 앞서 한 논의에서 에너지의 흐름이 전선 위에만 있으면서 모든 점에서 수렴하거나 발산하는 경우는 있을 수 없다고 결론내렸습니다. 따라서, 위의 가정 중 하나가 틀렸다는 말이 되지요. 그러면 가장 만만한(?) 가정은 에너지는 전선만 타고 흐를 수 있다는 가정입니다. 결국 에너지는 전선이 아니라 공중에서 흘러들어온다는 것이 논리적으로 볼 때에는 타당하다는 것이지요.

음... 이건 전 이렇게 해석했습니다. 전기장을 만드는 것은 실제로는 만드는 것이 아니라 공간에 퍼져 있는 미세한 전기장을 그 지점으로 끌어오는 것이라구요. 그러니까, 거의 0에 가까운 전기장들을 전선 주변으로 가져오는 것이 전선에 전류를 흘리는 방법인데, 이렇게 전기장들을 전선으로 가져오려면 전기장들은 허공에서 전선으로 흘러들어가는 형태가 되어 버립니다. 이렇게 전기장들이 허공에서 흘러들어가니까 포인팅 벡터가 허공에서 전선 속을 향하고 있다고 생각하는 것이지요. 이 논의는 무한평면축전기에도 적용이 가능해 보입니다. 파인만 강의록에도 같은(?) 방법으로 설명해 두었더군요. 물론, 파인만 강의록에 있던 설명은 무한평면축전기에 대한 내용이었긴 하지만 말입니다.

덧. 물리시험은 다음주 월요일이고 내일 통계시험이 있는데 이러고 있는 저는 막장?

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  1. Favicon of https://myungee.tistory.com BlogIcon 명이~♬  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    확실한건 저는 이해를 못한다는....ㅋㅋ;
    덱스터님은 능력자 +_+

    즐거운 하루 잘 보내고 계신가요옴~~~!!

    2008.12.08 17:51 신고
  2. Favicon of http://saygj.com BlogIcon 빛이드는창  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    함께 공부하는 분위기 맞죠~~

    2008.12.09 10:57
  3. Favicon of http://envyang.tistory.com BlogIcon 엔비앙  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    앗+_+!! 저를 이리 포스팅에 쎄워주시다니ㅠ 감개 무량해요 ㅠ ㅋㅋ

    저는 파인만 아저씨를 사랑하지만 아저씨의 강의록은 그닥 이뻐하지 않아효-_-ㅋㅋ

    포인팅 벡터는......참...제가 물리를 포기하게 만들 뻔 한 녀석이죠 ㅋㅋ
    갑자기 감회가 새롭군요=ㅅ=a;;
    결국 지금은 포인팅 벡터의 평균값을 다루는 광학에 종사하고 있지만
    학부 때 전자기학을 배우면서 너무 많이 좌절을 했었어요. ㅠ

    직관으로 물리를 다뤘다간 쥐도 새도 모르게 잊혀지겠구나라고 생각했었죠 ㅋㅋ
    근데 자석에서 포인팅 벡터를 배우면서 슬슬 이해를 했다능 ㅠ

    그나저나, 물리 및 통계 시험은 잘 보셨는지 +_+?

    2008.12.09 16:08
  4. Favicon of https://appleii.tistory.com BlogIcon appleii  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    포인팅 벡터는 전계와 자계가 상호작용해서 전자기파를 전달한다는 것을 나타냅니다. 전자기파는 전력을 전달합니다. 포인팅 벡터는 전계에 수직한 방향입니다.


    이것이 혼란스러울 수 있는데 도체에 전계가 가해지면 전하를 움직인다 , 그래서 에너지가 전달된다는 식으로 이야기하기 때문입니다. 이것은 주파수가 회로와 비교해서 아주 작은 경우를 가정한 것입니다. 주파수가 높으면 약간 달라져야 합니다. 전자기파에 의해서 대부분의 에너지가 전달된다고 생각해야 합니다. 포인팅 벡터는 전계뿐만 아니라 자계도 있어야 됩니다. 에너지가 전계뿐만 아니라 자계에 의해서도 전달된다는 뜻입니다. 전계가 자계를 유도하고 자계가 전계를 유도하는 식으로 전달됩니다. 한개의 도체만을 생각하면 이상할 수 있지만 두 개의 도체를 생각하면 의문이 풀립니다. 집에서 사용하는 전선은 도체가 하나가 아니라 두개입니다. (전선 2개가 한쌍으로 구성) 도체 2개 사이에 전위차가 있으면 전계가 생깁니다. 전류가 발생하면 전류방향을 휘감는 방향으로 자계가 생깁니다. 전계와 자계 모두에 수직한 방향이 포인팅 벡터의 방향입니다. 포인팅 벡터의 방향이 에너지가 전달되는 방향입니다.


    그러므로 도체 사이의 공간을 통해서 대부분의 에너지가 전달된다는 것을 이해할 수 있습니다. (도체 내부는 주파수가 높아지면 저항이 몹시 커져서 에너지를 전달하기 어려움. 거의 표면으로만 에너지가 전달됨.)

    2008.12.16 12:58 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2008.12.16 19:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      음.... 전 직류를 이야기하고 있었는데 조금은 주제가 다른 것 같네요...;;

      결과적으로 말하고 싶었던 것은 '에너지는 도체를 통해 운반되는 것이 아니다'가 왜 논리적으로 올바른지였는데, 그런 식으로 설명하는 것도 가능하군요...

  5. Favicon of https://appleii.tistory.com BlogIcon appleii  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    공간을 통해서 에너지가 전달되기 위해서는 전자기파를 발생시켜야 됩니다. 전자기파는 변위전류에 의해서 발생합니다. 직류성분은 도체의 자유전자를 움직이는데 소모되는 열에너지로 변환되고 교류성분은 전자기파를 발생시켜 공간으로 에너지를 전달합니다. 교류성분이 없이 직류성분만으로 되어 있는 경우라면 에너지가 도체를 통해 운반된다는 말은 옳은 것이 됩니다.


    포인팅 벡터를 면적분하면 세가지 성분이 나오게 됩니다.
    1. 전계에 축적된 전기에너지가 방출
    2. 자계에 축적된 자기에너지가 방출
    3. 도전성 매질에 의한 열손실


    1, 2 는 교류성분에 의해서 발생하므로, 직류만 있을 경우에는 해당이 안되고 3만 남습니다.


    직류일 경우 공간으로는 에너지를 전달하지 못하고 오직 도체를 통해서만 전달됩니다.

    결론은 직관적으로 생각한 것이 맞다는 것입니다.

    2008.12.17 10:25 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2008.12.17 15:33 신고  댓글주소  수정/삭제

      음..

      그런데 무한직선도선을 가정하고 도선 바로 밖에서 포인팅 벡터를 구하면 0이 아니지 않나요? 전 이 포인팅 벡터에 대해서 말하고 싶었던 것인데...

  6. Favicon of https://appleii.tistory.com BlogIcon appleii  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    일단, 전원을 연결하기 전을 생각해 보세요. 그 때는 전류가 흐르지 않습니다. 그 뒤 전원을 연결하면 전류가 흐르게 됩니다. 그런데, 전압이 금방 올라가지는 않습니다. 따라서 전원 전압까지 올라갈때까지 전류의 흐름이 점차적으로 변하는 시간(transient state)이 있습니다. 그 때는 전류가 변합니다. 그 때 생긴 전류는 도선 주변에 자기장을 발생시킵니다. 그리고 더 이상 전류의 변화가 없는 상태가 될 때 , 직류전류가 흐르게 될 때(steady state)는 자기장의 변화가 없습니다.


    여기서 중요한 것이 한가지 있습니다. 도선 주변의 자기장은 전류의 변화가 있었던 초기에 생긴 것입니다. 다르게 말하자면 전류가 변할 때 주변 공간에 자기에너지를 저장했다는 이야기가 됩니다. 그럼 이 자기에너지는 언제 나올까요? 전류가 다시 변해야 나오지 않을까요? 즉, 전원을 차단해서 전류가 점점 줄어드는 상태가 되어야 다시 나오지 않겠습니까?


    1. 과도상태(transient state)에서는 투입된 전기에너지가 주변 공간에 자기에너지로 변환된다.

    2. 정상상태(steady state)에서는 투입된 전기에너지가 열로 변환된다.


    요점은 도선 주변의 공간에 저장된 자기에너지는 전류의 상태가 변할때만 방출과 흡수를 한다는 점입니다. 그러므로 직류전류가 흐르는 steady state 에서는 도선에만 에너지를 전달한다는 말이 옳지 않을까요?

    2008.12.17 18:39 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2008.12.17 18:50 신고  댓글주소  수정/삭제

      음 제가 말하고 싶었던 부분이랑 좀 어긋나는 것 같네요. 님이 말씀하신대로 전류가 흐르고 있으면 자기장이 형성되어 있지요. 제가 말하고 싶은 것은 이때 도체의 표면을 보면 분명히 전기장이 형성되어 있고, 또 여기에 자기장이 수직하게 형성되어 있기 때문에 0이 아닌 포인팅벡터가 도체 내부를 가리키도록 생성된다는 것이었습니다. 교과서에서 포인팅 벡터와 관련되어 나오는 예시문제를 생각해 보시면 되겠네요.

  7. 엑소시스트  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    무슨 동양철학하십니까. 그냥 배터리에서 전자를 퍼주기만하면 그로 인해 도선의 나머지 부분에 쌓인 전하에 의해 자동적으로 전기장이 형성됩니다. 그 전기장으로 전류가 흐르게 되는거고요. 그리고 또다시 그 전류는 전기장을 형성하고 ... 한마디로 피드백과정이 즉각즉각(광속으로) 일어나는거죠. 수도꼭지에 호스 꼽고 물 틀어 보세요. 공간상의 미세한 전기장이니 뭐니 하는 말들은 모두 미신류로 들립니다.

    포인팅 정리에 따르면 에너지가 저항체의 옆면으로 흘러들어와야 한다는게 가능한 선택들 중에 그나마 자연스러운 해석이지만, 도선을 따라서 에너지가 넘실넘실 흘러다닌다는 상상과 님께서 보여주신 그에 대한 논증은 다소 불필요하고 그 논리도 부실합니다.(물론 님께서는 그것을 반박하는 논증을 펴셨지만) 회로의 기전력 (전지나 유도 기전력 등등...) 은 단지 회로내부의 자유전자에게 일을 해줄 뿐이지 그들의 운동을 타고 에너지가 전달된다는 말은 어폐가 심합니다.

    덧붙여 말씀드리자면 포인팅 정리의 유도를 보시면 알겠지만 애초에 E*H 항은 폐곡면에 대해 적분된 항입니다. 애초부터 방향성이 없다는 말씀이죠. 따라서 E*H 벡터의 방향으로 에너지가 흐른다는 것은 단지 미학적인 해석에 불과하고, 실재 물리적 내용은 포인팅 정리의 적분형태에 있다고 하겠습니다.

    추신: 포인팅 벡터의 div가 포함된 국소 에너지 보존 법칙의 방정식을 가지고도 에너지의 방향성을 구할 수는 없습니다.(물론 에너지 흐름이 폐곡면의 안쪽이냐 바깥쪽이냐는 구분되지만) 결국 포인팅 벡터가 그러한 방향을 가지고 있는 것은 순전히 인간의 선택에 의한 것입니다. 간단한 예로 포인팅 벡터에 상수벡터를 더해 보세요. 상수벡터의 div는 0 이기 때문에 면적분에 영향을 주지 않습니다. 그러면 에너지 흐름의 '방향'도 달라지겠죠. 물론 물리학에는 아무런 변화도 없이요.
    제 소견으로는 에너지에 관한 많은 착각이 에너지가 공간상에 절대적으로 존재해야 한다는 관념에서 비롯되는 것 같습니다. 에너지는 물론 존재하지만 물리적으로 존재한다기 보다는 수학적으로 존재합니다. 그리고 그 존재는 가변적이고 인위적인 측면이 큽니다. 에너지의 물리적 가치는 언제나 그 보존성에 있지 에너지 흐름의 방향이 무엇이냐하는 것은 사실 물리적으로 큰 의미가 없다고 봅니다.

    2009.08.11 16:56
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.12 00:20 신고  댓글주소  수정/삭제

      생각해 보니 헛소리가 맞긴 맞네요. 괜히 포인팅벡터에 물리적인 의미를 부여하느라 생긴 무리한 해석 정도로 보아주시길 ^^;;

      에너지는 인공적인 개념인 측면이 크기는 하지요. 절대적인 기준 자체를 구할 수 없는 경우도 많으니...(자기포텐셜의 경우가 가장 크겠네요...) 뭐 이런 부분은 물리학에서 나타나는 수많은 개념들이 실제로 존재하는 것이냐는 존재론에 대한 질문이 되니까 무시하는게 맞을지도 모르겠네요.

      그런데 텅 빈 공간이라도 일정 정도의 전자기장이 존재하는 것은 맞을 겁니다. 최소한 QFT 수준에 가면 그 말은 옳다고 알고 있습니다. 물론 지금은 고전적인 범위니까 그런 헛소리는 집어치워야 하는게 옳겠지만요.

    • 우왕ㅋ굳ㅋ 2016.03.18 10:37  댓글주소  수정/삭제

      저는 에너지의 방향성이 불필요하다고 생각하진 않아요.. E cross H*는 결국 파동의 진행 방향을 나타내잖아요?

      그냥 여러 정보를 한 공식 안에 다 집어 넣은거죠.

      글로 풀어낸다면,
      "이 방향으로 진행하는 전자기파는 이런 에너지를 가지고 있더라!"
      여기서 "이 방향으로 진행하는" 부분이 포인팅 벡터의 방향성이죠.

      실생활에 접목해서 이야기 해본다면,
      "지금 경부고속도로를 타고 택배 배달 가고 있습니다"

      경부고속도로가 방향성이고 택배 내용물이 에너지인 거죠.

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