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  1. 2009.12.15 각종 변환들
  2. 2009.10.17 왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?

각종 변환들

Mathematics 2009.12.15 19:36
좌표변환과 같이 물리적인 의미가 있는 변환 말고 수학적인 변환 위주로 정리.

1. Legendre 변환
고전역학에서는 Hamiltonian에 쓰인다. 열역학에서도 Enthalpy나 Gibbs 자유에너지, Helmholtz 에너지 등에서 나타난다. 미분방정식에서 변수를 바꾸는 데 이용한다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Ceta%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi%5C%5CF%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%2C~G%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D

여기서 http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpi%5Cequiv%5Ceta-G%5Cpsi라고 정의해주면

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Cpi%3Dd%5Ceta-d(G%5Cpsi)%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi-%5Cpsi%7BdG%7D-Gd%5Cpsi%5C%5Cd%5Cpi%3DFd%5Cphi-%5Cpsi%7BdG%7D

이처럼 변수가 바뀌게 된다.


2. Fourier 변환
파동역학 쪽에서 주로 쓰는듯. 양자역학에서는 basis를 위치에서 운동량으로(또는 역으로) 바꿀 때 이용한다. FFT(Fast Fourier Transform)이라고 해서 소리 정보를 디지털 정보로 변환해 저장하는 데 응용하기도 하는 것 같다. 진동 쪽에서도 공명주파수를 구하기 위해 쓰이는 것 같으나 자세한 것은 불명.

기본적으로는 Fourier series에서 주기를 무한대로 확장한 것이다. 때문에 전체구간에서 적분한 값이 존재하지 않으면 쓸 수 없다. 변수는 실수.

 \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.
Wikipedia: Fourier transform

위는 일반적인 n차원에서 Fourier 변환을 나타낸다.[각주:1] 위의 것은 Fourier 변환, 아래 것은 역 Fourier 변환이라고 불린다. 변환시킨 것을 다시 되돌려 놓는다는 의미. 기타 다른 방법으로 쓸 수도 있지만, 이 방법이 대칭성이 보기 좋아 주로 쓰이는 것 같다.

미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역변환이 더럽긴 하지만. 여기를 참조.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%5Enf(x)%7D%7Bdx%5En%7D%5Cright%5C%7D%3D(i%5Comega)%5En%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)

위의 관계식을 이용해서(부분적분으로 증명할 수 있느나 생략) 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 바꾸는 것이다. 경우에 따라서는 convolution도 이용해야 하는 것 같지만...

예시:
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bd%5E2%20f(x)%7D%7Bdx%5E2%7D%20%2BA%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%2BBf(x)%3Dg(x)%0A%5C%5C(-%5Comega%5E2%2BAi%5Comega%2BB)%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)%3D%5Chat%7Bg%7D(%5Comega)


3. Laplace 변환
신호쪽에서 쓴다고는 하지만, 사실 어디서 쓰는지 잘 모른다(...). 듣기로는 Fourier 변환의 확장이라고... 특징이라면 Fourier 변환이 함수가 무한대에서 발산하지 않을 것을 요구하지만 여기서는 그런거 없다는 것 정도? 대신 적분구간이 음의 무한이 아니라 0부터 무한이다.(일반적인 경우는 그렇지만, 전체 구간으로 확장하는 경우도 있는듯 하다.)

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt.
Wikipedia: Laplace transform

s는 복소수라고 한다.(그런데 난 그렇게 배운 기억이 없다. 뭐지?)[각주:2]

마찬가지로 미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역시 여기 참조. 따로 역변환이 있다고 배운 기억이 없기 때문에 얻어진 변환의 함수꼴을 보고 원래 함수를 추정한다.(적어도 Kreyzig 책에서는 그렇게 푼다.)[각주:3]

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bf%27(t)%5C%7D%3Ds%20F(s)%20-%20f(0)

예시는 귀찮으니까 여기로...
최근 글인 2009/12/17 - Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이참조.


4. Gauge 변환
전자기에서 등장. 듣기로는 핵력에서도 쓰인다는데, 배우지 못한 관계로 생략. 일종의 '기준점을 선택할 자유도'이다. 자세히 적는건 나중에... 그동안은 여기서..



시간나는 대로 추가할 생각이다.
  1. 귀찮아서 복소 Fourier변환만 다루었다. cosine이나 sine만 쓰는 경우도 있으니 조심. 그런데 사실 복소로 다 해먹을 수 있어서(...) [본문으로]
  2. s가 복소수라면, s가 허수부를 따라서만 이동할 때 확실히 Fourier변환이 맞기는 하다. [본문으로]
  3. 그런데 실제 역변환이 존재하는 것으로 보아서 복소변수함수의 적분을 배우지 않았기 때문인지도 모르겠다. 하지만, 역변환에서 contour 적분이 필요한 것으로 보아서는 계산 자체는 동일한듯. [본문으로]

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Shankar 책을 산지 좀 되었습니다.

심심해서(하라는 시험공부는 안하고) 이전에 Liboff 책에서 재미있게 보았던 대칭성과 보존에 관한 부분을 보았습니다. 보다 보니 이런 부분이 나오더군요.

[...]

We define translational invariance by the requirement



[...]
Principles of Quantum Mechanics 2nd Ed., R. Shankar, Springer, 1994, p. 285

저기서 T(epsilon) 연산자는 입실론만큼 전체를 +x 방향으로 옮기는 연산자입니다. 그건 그렇다 치고, 왜 불변성을 Hamiltonian 연산자를 이용해 정의하는 것인지 좀 생각해 보아야겠더군요.

현재는 그저 '기본법칙이 Schrödinger 방정식이기 때문'이라고 결론내렸습니다. 저 항등식을 만족시킨다면 상태함수에 T 연산자를 마음껏 들이대어도 기본법칙에 어긋나지 않거든요.



왜 왼쪽에 다른 임의의 상태를 들이대냐면, 측정은 저렇게 이루어지기 때문입니다. 양자물리에서 모든 측정량은 저렇게 bra를 붙여서 얻어야 하니 말이지요. (그런데 써놓고 보니 아직도 논리에 구멍이 있는 것 같네요. 좀 더 엄밀하게 해보는 것은 나중에...)[각주:1]

어찌되었든, T 연산자로 모든 상태를 이동시켜 놓았을 때 임의의 연산자 A는 어떻게 변해야 하는가 생각해 보았습니다. 생각해보니 쉽더군요.



이니까



하지만 T 연산자의 역함수(역연산자?)는 T 연산자의 hermitian conjugate 입니다. 왜 그런지는 A 대신에 I(Identity - 1이라고 생각하시면 됩니다)를 넣어보면 됩니다. I 연산자가 좌표와는 상관있을 리가 없겠죠. 그러면 결국



이 됩니다. 어째 어디선가 본 행렬형식의 2계텐서 변환방식이 떠오르는군요.

그나저나 시간대칭은 역시 허수의 성질을 이용하는군요. i나 -i나 구분할 수 없다는 그 성질 말입니다. 이건 예전에 적어둔 것이니 링크만 간단히...

2009/04/30 - 복소수 대칭과 시간대칭

ps. 뭐 아실 분들은 아시겠지만 사실 저 T 연산자는 P 연산자, 즉 운동량과 관련이 있습니다. 그래서 운동량 보존이 균일성(위치에 대해 변하지 않음-translational symmetry/invariance)과 동치인 것이구요. 정확히는



입니다. Taylor 전개를 해 보면 알 수 있는데 그것까지 하기는 귀찮네요. Griffith 책의 연습문제로도 나오니 제가 할 필요는 없겠지요.
  1. 이렇게 엄밀한 거 좋아하다가 서너줄이면 끝날 숙제 문제를 한두페이지가량 써제끼는 일이 한두번이 아니네요 -_-;; [본문으로]

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