'벡터'에 해당되는 글 3건

  1. 2010.02.28 Contravariant/Covariant/Metric tensor와 Kronecker delta (2)
  2. 2010.02.04 선형대수와 행렬
  3. 2009.10.16 Tensor(1) (2)
요즘은 양자를 하기 전에 고전적인 장론에 대해 좀 더 알아야 할 것 같아서 이 책을 보고있다.

The Classical Theory of Fields (4 Revised, Paperback)
Landau, L. D./Butterworth-Heinemann
고급 전자기학과 일반상대론을 다룬다.

여태 역학의 관점에서만 상대론을 공부해서 나한테만 새로운건지는 모르겠는데, 시공간상의 거리(Spacetime interval; 직역하면 시공간 간극이 맞겠지만)로부터 논리를 세우는 과정은 인상적이었다. 그런데 친구한테 듣기로는 요즘 상대론 책은 전부 그렇다고 한다. 내가 구세대라니 OTL

그런데 첫 챕터부터 읽는데[각주:1] 틀린 것 같은 부분이 있어서 확인해봤다. 결과는 옳기는 하더라도, 과정상 틀린 부분이 있다는 기분이 들었던 것. 바로 metric tensor와 관련된 부분이다. 책에서는 Kronecker delta 텐서를 indice lowering/raising하는 것으로 metric tensor가 얻어지는 것처럼 서술했는데, 원래는 둘은 서로 독립적인 존재이다.

metric tensor는 공간의 특성, 즉 거리의 측정법을 규정한다. 두 점 사이의 변위를 d{\bold x}^i로 쓸 때, 두 점 사이의 거리는 다음으로 정의한다.(표기는 Einstein summation notation을 따른다)

ds^2=g_{ij}d\bold x^id\bold x^j

여기서 g_{ij}가 metric tensor이다.[각주:2] 일반적인 유클리드 공간이라면 metric tensor는 Kronecker delta가 된다. 그리고 일반적으로 말하는 평평한 시공간(flat spacetime)에서는 (정의하기 나름이지만) 0번째 항이 1이고 나머지 항은 -1인 대각행렬(diagonal matrix)이 된다. 만약 시공간이 꼬여있으면 그건 일반상대론한테 물어보도록. 리만(Riemann)을 찾아가도 되겠지만 일반상대론보다 일반적이지는 않을 거다.[각주:3]

metric tensor의 원래 정의는 위와 같지만, contravariant의 indice를 내려주는 역할을 하기도 한다. 사실 covariant를 dual 벡터로 정의하기 때문에 생기는 특성이기는 하지만 말이다.

\bold A_i=g_{ij}\bold A^j

그렇다면 covariant의 indice를 올려주고 싶다면 어떻게 하면 될까? 그건 metric tensor의 dual을 이용한다.

\bold A^i=g^{ij}\bold A_j

그렇다면 dual은 어떻게 구할까? 위의 두 과정을 합쳐보자.

\bold A^i=g^{ij}g_{jk}\bold A^k=\delta^i_k\bold A^k

어차피 벡터 A는 무엇이 되어도 상관없기 때문에 떼어버리면(아래 식의 우변은 metric tensor의 대칭성을 이용한 것이다.)

g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k=g_{kj}g^{ji}

신비롭게도 행렬로 쓴다면 둘은 서로 역행렬 관계이다. 결론을 제대로 서술하자면, metric tensor와 Kronecker delta는 무관하고, metric의 dual이 Kronecker delta를 이용해 구해진다는 것이다.

오늘의 태클은 여기까지.
  1. 공부의 정석은 정독이다. [본문으로]
  2. 단, symmetric tensor가 되어야 한다. [본문으로]
  3. 일반상대론에서는 유사리만공간(pseudo-Riemannian manifold)을 이용하고 내적이 좀 더 복잡하다. 자기 자신과의 내적이 음이 될수도 있도록 일반화된 공간이 유사리만공간이다. [본문으로]

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    2010.02.28 08:05

선형사상(linear map)은 두 벡터공간을 연결하는 특정한 함수의 하나이다. 이 함수를 규정하는 조건은 다음과 같다.


(생각해보니 두번째 줄은 넣지 않아도 되었을 듯)
선형사상은 항상 적절한 행렬로 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다.[각주:1] U와 V는 벡터공간이므로, 각 공간의 기저(basis)를 임의로 정할 수 있다. 각 공간의 차원을 m, n이라고 부르고 벡터를 어떤 고정된 기저의[각주:2] 선형조합으로 나타낼 때 각 성분을 열벡터로 쓰자. 예시;


출력되는 벡터도 마찬가지로 써 준다.(이번에는 n개의 행을 가진 열벡터가 된다.) 다음, 선형사상의 정의를 고려해서 출력값을 다음과 같이 써 준다.


이제 각 기저벡터의 상(image)을 열벡터로 나타내준다. 각 기저벡터의 상을 b_i라고 쓰자.


이제 x의 상은 다음과 같아진다.


이 연산은 행렬로도 쓸 수 있다.


b_i는 n×1 열벡터이기 때문에 선형사상 f는 n×m 행렬이 된다.



재미있는 사실은 이 선형사상을 텐서의 일종으로[각주:3] 볼 수 있다는 것이다.(물론 차원이 조금 이상하기는 하지만)

먼저 사상을 F라는 행렬로 쓰자. 그리고 F라는 행렬을 만드는데 쓰였던 상의 기저를 Y라는 집합으로, 전상(preimage)의 기저를 X라는 집합으로 쓰자. 상을 열벡터 y로, 전상을 열벡터 x로 쓴다면 위의 방정식은 다음과 같다.


이제 전상의 기저(X→X')를 바꾸어보자. 벡터 자체는 그대로 있지만 기저를 바꾸어서 그 벡터를 나타내는 숫자를 변경하는 것이다. 어차피 벡터의 표현 형식보다는 벡터 자체의 성질이 중요하기 때문에 원상의 기저를 바꾼다고 해서 상이 바뀔 이유는 없다. 그리고 상 자체는 그대로 있기 때문에, 상을 나타내는 기저가 바뀌지 않는 한 벡터 y는 바뀔 이유가 없다. 먼저 기저를 바꾸어서 x로 측정되던 벡터가 이제는 x'으로 측정된다고 하자.[각주:4] 이렇게 기저를 바꾸어주는 행렬을 T_x라고 쓰자.


그러면 사상 F가 변해야만 상이 y로 제대로 나올 수 있다. 단순히 F에 x'을 곱한다고 y가 나오지는 않으니 말이다. 기저 X를 새로운 기저 X'으로 쓸 때 사상을 나타내는 행렬을 F'이라고 하자.[각주:5] 물론 사상 자체가 바뀌지는 않았지만 숫자는 바뀌었다. 의외로 F'를 구성하는 숫자들은 간단하게 얻을 수 있다.


이번에는 상의 기저(Y→Y')마저 변했다고 치자. 벡터 y를 나타내는 숫자는 다음과 같이 변한다.


이렇게 되면 사상을 나타내는 행렬마져도 변하게 되는데, 이 행렬은 F''으로 쓰자. 처음처럼 간단한 형식을 유지하고 싶으면 다음과 같이 숫자를 변경하면 된다.


선형대수학을 공부한 많은 사람은 무언가 비슷한 식을 기억하고 있을 것이다. 위 식은 유사변환(similarity transform)의 전 형태이다. 상과 전상의 차원이 같고 둘 다 같은 기저만을 쓰도록 한다면 T_y와 T_x가 똑같기 때문에 유사변환이 된다.

이 글을 읽고나면 텐서의 정의를 읽기 조금은 쉬워질지도 모르겠다. 위에서 쓴 것을 좀 더 일반적으로 쓴 것이 텐서의 변환이기 때문이다. 역행렬이 곱해지는 것은 covariant의(아래쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이고 그냥 행렬이 곱해지는 것은 contravariant의(위쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이다.[각주:6] 나중에 tensor(2)를 쓰게 되면 정리하겠다.(과연 언제이려나)
  1. 선형대수학이 행렬학인 이유 [본문으로]
  2. 계속 같은 기저를 이용해 벡터를 측정한다는 말이다 [본문으로]
  3. 양쪽을 동일한 성질(covariant 또는 contravariant)의 벡터라고 할 때 (1,1) 텐서이다. [본문으로]
  4. 벡터가 변한 것이 아니라 벡터를 나타내는 숫자가 변한 것이다. 예를 들어 xy평면에서 (1,0)에 있는 점은 축을 시계방향으로 90도 돌리면 (0,1)에 있게 되지만, 축이 돌아간 것일 뿐 점 자체가 이동한 것은 아니다. 여기서는 (1,0)이 x에 해당하고, (0,1)이 x'에 해당한다. [본문으로]
  5. y=F'x'으로 쓰고 싶은 상태 [본문으로]
  6. 링크된 글에서는 엄격히 말하자면 contravariant 성분이 둘인 (2,0)텐서로 써야 했지만 귀찮아서 covariant로 써버렸다. [본문으로]

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Tensor(1)

Mathematics 2009.10.16 01:00
목요일에 보았던 시험범위네요.



1. 먼저 벡터.

벡터는 수학적으로는 덧셈이 교환법칙(a+b=b+a)을 만족하며, 항등원이 있고(a+0=a) 역원이 있는(a+(-a)=0) 집합의 원소로 정의합니다. 일부의 경우 곱셈까지 제한조건으로 걸어두기도 하지만, 일단은 그 부분은 무시.

물리학적으로는 제한조건이 하나 더 붙게 됩니다. '좌표변환에 대해 좌표(변위벡터)와 동일한 방식으로 변화할 것.'이라는 조건인데, 생각해보면 당연합니다. 물리법칙은 좌표 선택에 영향받지 않습니다.[각주:1] 따라서 물리법칙에 들어가는 벡터량들은 좌표 선택에 영향받지 않아야 합니다. 그리고 좌표 선택에 영향받지 않는 물리량은 좌표 그 자체, 변위가 되겠지요. 그러면 당연히 다른 벡터들도 변위가 변화하는 방식에 따라 변화해야지요.

이런 방식으로 변화하지는 않지만 벡터와 같은 성질을 갖는 물리량들도 있습니다. 그런 벡터들을 두고는 유사벡터(pseudovector)라고 말합니다. 대표적인 예로는 각운동량이 있군요. 좌표를 전부 거꾸로 셀 때(이를 반전-inversion-이라고 부릅니다) 위치와 속도벡터는 거꾸로 세어지지만 이들의 벡터곱인 각운동량은 뒤집어지지 않기 때문입니다.



2. 다음, 텐서.

텐서는 벡터의 확장입니다. 말이야 쉽지요.

먼저 벡터의 정의에서 마지막으로 하나의 제한조건을 더 붙였던 것 기억하시길 바랍니다. 여기가 포인트입니다.

텐서는 좌표의 '조합'에 하나의 값을 부여합니다. x와 x에 대해서는 a라는 값을, x와 y에 대해서는 b라는 값을, y와 x에 대해서는 c라는 값을, 등등등...[각주:2] 그러면 텐서는 어떻게 변화해야 하나요? 좌표의 조합이 변화하는 방식에 따라 변화해야 합니다.

정확히 말하자면, x와 y의 조합에 b라는 값을 부여했을 때, b는 x좌표가 x'으로 바뀔 때 변하는 방식과 z좌표가 z'으로 바뀔 때 변하는 방식을 동시에 만족하면서 변해야 한다는 의미입니다. 수학적으로 바꾸어 보겠습니다.

좌표변환에서 새로 정의되는 벡터성분은 좌표변환 이전의 벡터성분들을 조금씩 수혈받습니다. xy평면상의 벡터들의 회전에 대한 행렬이 좋은 예이지요.

R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\quad(\text{counterclockwise rotation by }\theta).
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

이 행렬에서 새로운 축의 x방향 성분은 이전 축의 x방향 성분에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고 y축 방향 성분에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받는다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 x와 y의 조합에 대해 규정된 값인 b는 어떻게 변화해야 할까요? 새로운 축의 x와 옛 축의y의 조합에 대해 규정된 값 b'은 위의 방식대로 해주면 됩니다. 옛 축의 x와 x에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고, 옛 축의 x와 y에 대해 정의된 값에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받습니다. 그리고 새로운 축의 x와 y에 대해 부여된 값 b''은 새로운 축의 x와 옛 축의 x에 대해 정의된 값에서 sin값을 곱한만큼, 새로운 축의 x와 옛 축의 y에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받으면 되는 것이지요. 각 비율을 p라고 적으면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

T_{x'y'}=p^x_{x'} p^x_{y'} T_{xx} + p^x_{x'} p^y_{y'} T_{xy} + p^y_{x'} p^x_{y'} T_{yx} + p^y_{x'} p^y_{y'} T_{yy}



일단은 여기까지.

이런 기분은 당연한겁니다.

Contravarient/Covarient Tensor에 대해서도 해야 하는데...-.-;; 귀찮네요 -_-;;;

(2)는 쓸 지 안쓸 지 모르겠네요. 글은 쓰고 싶을 때 쓰는거라...
  1. 좌표 선택에 영향받으려면 기준이 되는 원점과 방향이 있어야 합니다. 그런데 일반적으로 가정하는 우주는 등방적, 즉 방향성을 갖지 않고 균일, 즉 위치의 특별함을 갖지 않습니다. 이런 우주에서 어떻게 기준이 되어야만 하는 원점과 방향을 잡을 수 있나요? [본문으로]
  2. 정확히는 순열(Permutation)이라고 해야겠네요. 어떤 순서로 좌표를 조합하느냐에 따라 값이 다를 수 있습니다. [본문으로]

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  1. 공대생 ㅜㅠ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘보았습니다, 마지막 부분에 식이랑 ...

    원래 x,y에 cos,-sin수혈받고 그 담부터 이해가 잘 안가요 ㅠㅜ

    쉽게 좀 해주시면 안될까요 / / ? 제가 이해력이 떨어 져서 ㅠㅜ

    2010.03.12 22:10
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.12 23:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      텐서의 각 성분을 두 벡터의 어떤 성분끼리의 곱이라고 생각하면 좀 더 쉬워요. 예를 들어서 텐서 T의 12성분은 벡터 A의 1번 성분과 벡터 B의 2번 성분의 곱이라는거죠.

      이렇게 해 놓고 좌표변환을 하는겁니다. A의 각 성분은 조금 다른 숫자를 갖게 되겠지요. 마찬가지로 B의 성분도 그렇고요. 그러면 텐서 T의 성분은 어떻게 변할까요?

      ---

      예전에 '선형대수화 행렬'이라고 썼던 글이 있어요. 어쩌면 살짝 도움이 될지도 모르겠네요.

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