'기하학'에 해당되는 글 3건

  1. 2014.01.11 Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1)
  2. 2010.05.01 Involute 곡선 (10)
  3. 2010.04.24 수학의 아름다움 (2)

일반상대론 교재를 보고 식은 이해했는데 실제 연습문제를 풀 때마다 막막하신 분들을 위해 적습니다.




많은 이들을 멘붕에 빠지게 하는 일반상대론이 어려운 이유는 다른게 아니라 일반상대론에서 사용하는 리만기하학 때문입니다. 유클리드 공간에서 작도만 하던 그리스 시대와는 달리 시간이 지날수록 사람들은 '두 점 사이의 거리'에도 관심을 갖게 됩니다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리로 쓰게 되죠.


File:Pythagorean.svg

c^2=a^2+b^2


이런 '두 점 사이의 거리'를 재는 방법을 가장 간단하게 일반화한 것이 리만기하입니다. 매우 가까운 두 점 사이의 거리는 두 점과 좌표축에 평행한 선분이 만드는 삼각형(편의상 2차원이라고 합시다)의 각 변의 길이에 대한 이차식의 꼴로 나타난다는 것이죠. 원래는 가우스가 휘어진 곡면 위에서 두 점 사이의 거리는 어떻게 주어지는가를 연구하면서 등장하게 되었다고 하는군요.


ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2


사실 거리를 일반화하는 방법은 이것 말고도 더 많기에 -피타고라스 정리에 제곱 대신 네제곱을 쓸 수도 있는 것이니까요. 페르마 님이 좋아합니다- 제곱의 꼴로 거리가 주어지는 리만기하학의 공간을 L^2공간이라고도 부릅니다. 양자역학에서 사용하는 힐베르트 공간도 L^2 공간의 일종이죠. 여기에 대해서는 아는 것의 밑천이 바닥나지 않을 이 정도 까지만 썰을 풀기로 합시다(...).


리만기하가 얼마나 일반적인 상식(?)과 어긋나는지 보기 위해 구체적인 문제를 풀어보도록 합시다. 가장 간단한 문제는 아무래도 푸앙카레 반평면(Poincare Half Plane)이 되겠네요. 푸앙카레 반평면이란 매우 가까운 두 점 사이의 거리 ds를 다음과 같이 정의하는 공간입니다.


ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)


여기서 리만기하학을 처음부터 다룰 수는 없는 노릇이니, 근처에 미분기하학 책이 하나 정도는 있다고 가정하고 바로 geodesic equation을 푸는 것으로 들어가도록 하겠습니다. 아무 일반상대론 책 하나 펴고 geodesic equation을 구하는 증명과정을 쭉 풀어본 사람이라도 실제 geodesic이 무엇이냐를 푸는데는 어려움을 겪는 경우가 있어서요. 그러면 방정식을 풀어봅시다.




geodesic equation은 다음과 같이 씁니다.


\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}=0


단, 이 경우 이 식이 만족되어야 합니다. 상수는 보통 1로 많이 잡는데, 그러면 람다의 변화는 이동한 거리가 되죠.


\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx_\mu}{d\lambda}=\text{const}


위의 metric을 이용해서 connection coefficient(혹은 Christoffel symbol이라고도 부릅니다)를 구하면 다음과 같습니다. (summation은 그리스 문자만 해당하는 것으로 합시다)


\Gamma^x_{xy}=\Gamma^y_{yy}=-\Gamma^y_{xx}=-\frac1y


위로부터 다음 식을 계산해보면 이 식이 맞다는 것도 확인할 수 있죠.


\Gamma^\mu_{\mu\nu}=\partial_\nu\ln\sqrt{|g|}


람다에 대한 미분을 뉴턴식으로 간략하게 쓰기로 하면 geodesic equation은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.


y''+\frac1y(x'^2-y'^2)=x''-\frac{2x'y'}y=0


확인한다면 위 식의 하나는 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 보일 수 있지요.


y^2\left(\frac{x'}{y^2} \right )'=0 \;\;\cdots\;x'=\alpha y^2


여기서 첫번째 geodesic을 얻습니다. 알파를 0으로 두면 geodesic은 x=const가 되거든요. 그러면 이 경우를 무시한 채 계속 진행해봅시다. 위에서 얻은 관계식을 대입하면 되는데, 우선은 어려운 방법부터 해 보도록 합시다.[각주:1] 남은 geodesic equation에 위 관계식을 대입하면 다음 식을 얻습니다.


y''+\frac1y(\alpha^2y^4-y'^2)=y\left[(\ln y)''+\alpha^2y^2 \right ]=0


y의 로그를 z로 재정의하면 다음 식을 얻죠. 신나게 미분방정식을 풀어봅니다.


z\equiv\ln y \\z''+\alpha^2e^{2z}=0\;\;\cdots\;\;2z'z''+2\alpha^2e^{2z}z'=\left[z'^2+\alpha^2e^{2z}\right ]'=0 \\z'^2+\alpha^2e^{2z}=\frac{y'^2}{y^2}+\alpha^2y^2=\beta^2\;\;\cdots\;\;y'=\beta{y}\sqrt{1-\left(\frac{\alpha y}{\beta} \right )^2} \\\therefore\frac{dy}{y\sqrt{1-\alpha^2y^2}}=d\lambda\;\;\;\cdots\;\beta\text{ is considered }1


베타는 어차피 중요한 상수가 아니라서 그냥 1로 두었습니다. 나중에 끌고가 보시면 알겠지만 베타는 속도에 해당합니다. 그리고 마지막 적분은 매우 유명(?)한 적분입니다. 저런 꼴은 일단 삼각함수로 치환하고 생각합니다.


y\equiv\frac{\sin\chi}{\alpha} \\\frac{d\chi}{\sin\chi}=d\lambda\;\;\cdots\;\;\lambda=\ln\left(\frac{\sin\chi}{1+\cos\chi} \right ) \\\therefore e^\lambda=\frac{\alpha y}{1+\sqrt{1-\alpha^2y^2}}\;\;\cdots\;\;e^\lambda\sqrt{1-\alpha^2y^2}=\alpha y-e^\lambda \\\therefore y=\frac1\alpha\;\text{sech }\lambda


참 쉽죠?(...) 마지막 줄은 그냥 전 줄을 제곱한 뒤 슥슥 그어주면 얻습니다. y를 구했으니 이번엔 x를 구할 차례로군요.


x'=\alpha y^2=\frac1\alpha\;\text{sech}^2\;\lambda\;\;\cdots\;\;x=x_0+\frac1\alpha\;\text{tanh}\;\lambda \\\therefore (x-x_0)^2+y^2=\frac{1}{\alpha^2}


위를 종합하면 geodesic은 원으로 그려지게 됩니다. 물론 '우리 눈으로 보기에 원'이지, 실제 원은 아니지요. 원은 '한 점으로부터 등거리에 있는 점의 집합'이니까요.




이제 미분방정식을 푸는 쉬운 방법을 알려드리죠. 아까 구한 관계식을 이번에는 속도의 크기에 넣어줍니다.


\frac{1}{y^2}\left(x'^2+y'^2 \right )=\frac{1}{y^2}\left(\alpha^2y^4+y'^2 \right )=1 \\\therefore y'^2=y^2(1-\alpha^2y^2)\;\;\cdots\;\;y'=y\sqrt{1-\alpha^2y^2}


어라(...) 힘들게 z로 치환해가며 구했던 미분방정식을 얻었습니다. 실제로 이 식을 미분해서 정리하면 사용하지 않은 geodesic equation으로 정리되는 것을 알 수 있습니다.




geodesic을 구했으니 남은건 '임의의 두 점 사이의 거리'같은 것이 있겠지만 그런거나 하자고(...) 이 글을 쓰고 있는 것은 아니죠. 다음 글을 쓰게 된다면 그 때는 푸앙카레 반평면을 비틀어 보도록 하겠습니다. 일종의 반-푸앙카레 반평면(Anti-Poincare Half Plane) 혹은 민코프스키 푸앙카레 반평면(Minkowskian Poincare Half Plane)이라고 할 수 있죠.


ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dz^2)


이런 metric을 생각한 이유는 de Sitter 공간과 Anti-de Sitter 공간을 단순화하면 이런 꼴의 metric으로 쓸 수 있기 때문이었죠. 혹시 시간이 되시는 분들은 괜찮은 일반상대론 책에서 conformal transformation을 찾아본 뒤 다음 metric의 scalar curvature를 계산해보세요. 모든 공간에서 상수가 나옵니다.


\\ds^2=\frac{1}{t^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{de Sitter} \\ \\ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{Anti-de Sitter}


그러면 다음 시간에(그런게 있다면)...

  1. 제가 처음 푼 방법인데 지금 이 풀이를 보면 정신이 아득하네요. 내가 이렇게 머리가 쌩쌩 돌아갔던가... [본문으로]

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Involute 곡선

Mathematics 2010.05.01 23:13
수학의 아름다움이라는 글에서 말했듯이 뉴턴 이전의 물리라는 이름을 붙일만한 학문(?)들은 정량적인 분석보다는 정성적인 분석이 주를 이루었다. 중학교 과학 교과과정에 나오는 4원소설과 같은 것들 말이다. 따라서 전통적인(?) 자연과학은 숫자를 자주 사용하는 현대보다는 기하학과 같이 보다 추상적인 학문이었다고 할 수 있다.[각주:1] 오늘은 그래서 기하학 이야기를 조금 해 보자.

전에 낸 퀴즈의 답은 involute 곡선이다. 정확히는 원의 involute 곡선이 된다. 만드는 방법은 다음과 같다. 먼저 원에 실을 팽팽하게 감아둔다. 그 다음 실의 끝에 펜을 연결하고 실을 팽팽하게 당긴 상태로 실을 푼다. 그러면 펜이 그리는 곡선이 involute 곡선이 된다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Animated_involute_of_circle.gif
위키백과에서 가져왔다. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Animated_involute_of_circle.gif

팽팽하게 잡아당겨진 실의 끝은 실과는 항상 수직하게 움직일 수 밖에 없다. 원에 감긴 실을 잡아당긴 채로 풀게 되면 풀려진 실은 원의 접선의 일부가 되고, 따라서 이렇게 그리는 곡선은 원의 어떤 접선을 잡아도 접점에서는 항상 수직하다.

왜 이 곡선이 중요한가는 이 곡선이 원의 어떤 접선을 가져와도 항상 수직하다는 특징 때문이다. 이론적으로 어떤 접촉면에서 마찰을 제외한 모든 힘은 면에 수직하게만 주어진다. 따라서 원의 접선 방향을 따라 힘을 전달하고 싶다면, 원 위에 이 곡선을 기반으로 한 곡면을 만들어 밀어주면 되는 것이다. 기어에 이 곡선이 주로 사용되는 이유이다.[각주:2]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Involute_wheel.gif
이번에도 위키백과. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Involute_wheel.gif

잘 보면 힘이 전달되고 있는 파란선과 두 기어가 접촉하는 면이 항상 수직한 것을 볼 수 있다.

수학은 그리 멀리 떨어진 곳에 있는게 아니다. 단지 눈이 좋지 못해 못 찾아내고 있을 뿐이다.
  1. 물론 숫자 자체도 추상적인 것이긴 하지만, 추상적인 정도를 따진다면 기하학이 더 추상적이지 않을까? 대수는 논외로... [본문으로]
  2. 위키백과 항목을 보다보니 이 아이디어는 오일러(Euler)의 아이디어라고 한다. 오일러 이 사람은 안한게 뭐냐 -_- [본문으로]

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  1. Favicon of http://twitter.com/donnie___ BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Euler이분 현대에 와선 슬랭에 발맞춰 Eula로 거듭나사 소프트웨어를 창시하셨죠.

    2010.05.03 11:45
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오일러씨는 워낙에 천재이신지라.. 어딜 보던등장하던데..

    2010.05.03 15:01 신고
  3. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    시험지에 어떤 사람이 발견한 정리나 사실이 있을 때, 그 사람 이름이 기억이 안난다면 적어야 할 이름 Best 3 : 오일러, 가우스, 교수님 이름

    2010.05.03 17:02 신고
  4. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    교수님이라니 어얽
    뭔가 이거 멋진데요
    저 기어는 효율이 얼마나 더 좋을까요

    2010.06.27 01:13
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.06.27 01:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실상 표준기어는 거의 전부 저 모형을 사용하기 때문에(웜기어 등은 제외) 효율을 말하는건 좀 에러가 있는듯 싶네요 -.-



Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.



몇몇은 새로 보기도 하고 몇몇은 이렇게 보니까 이해되기도 하고...

조금은 다른 이야기지만, 우리가 일반적으로 아는 것과는 달리 자연현상에 수학을 도입했던 것은 뉴턴이 처음이 아니라 고대 그리스까지 거슬러 올라간다고 한다. 그때는 4원소설이 지배하던 시기였는데, 각각의 원소마다 정다면체 하나씩을 배정하고(그때까지만 해도 정12면체는 발견이 안 되었다고 한다) 그 원소들이 움직이는 성질에 따라 자연을 설명하려고 했던 것이다.[각주:1] 실제로 아래 그림과 같이 신이 컴퍼스를 들고 있는 그림이 중세에도 있었다는 것은 이런 전통이 상당히 오래되었다는 것을 알 수 있다. 어떻게 보면 인간 추상능력의 최극단에 서 있는 수학이 자연을 기술하는데 사용되지 않는다는 것이 더 이상할지도 모른다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/God_the_Geometer.jpg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg

그러면 뉴턴이 한 일은 무엇인가? 뉴턴이 한 일은 자연현상을 설명하는데 수학적인 설명에서 그친 것이 아니라 '직접 숫자를 도입'한 것이다. 별 것 아닌 것처럼 보이지만 사실 여기에서 물리가 출발했다. 그리고 '숫자를 가지고 자연을 설명한다'는 아직도 물리라는 학문의 정의이다. 그런데 왜 수학을 이야기하다가 물리로 넘어온거지?
  1. Max Jammer, Concepts of Space. 책을 읽다 말은데다가 위치도 기억이 안 나는데 구글신은 15페이지라고 하신다. 찬양하라 구글! [본문으로]

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  1. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    영상좀멋진듯요

    2010.06.27 01:20

1 

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