Dexter's story

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)^[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.^[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.^[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.^[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?^[각주:5]

모멘텀 변환 파동함수는 다음과 같이 나타난다(hbar 표현식을 못 찾아서 저렇게 썼음 -_-;;).



이 식은 k에 대해서도 쓸 수 있다. 이때 khbar는 p가 된다.



적분구간을 무한대로 해 놓고 두 모멘텀 파동함수(변수는 k)를 적분하면 Dirac Delta fuction이 얻어진다.



여기서 2pi는 다음과 같은 이유에서 얻어진다. 먼저 적분구간을 [0, 2pi]로 해 보자. 그러면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.



여기서의 델타는 Kronecker Delta이다. 이제 이 구분된 적분구간을 무한히 확장한다. 그러면 처음에 얻은 식이 얻어진다.(Dirac Delta가 Kronecker Delta의 무한합으로 보는 관점) 이런 연유에서 규격화된 k에 대한 파동함수는 다음과 같이 쓴다.



보통의 경우, 일반적인 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.





여기서



로 정의한다.

1.
하나의 입자를 서술하는 한 파동함수가 A에서 델타함수로 붕괴한 다음에 B에서 델타함수로 붕괴한다.
이때 관찰자를 잘 잡으면 A에서 붕괴하는 사건과 B에서 붕괴하는 사건이 동일 시간에 일어나게 되는데, 그러면 이때에는 하나의 입자가 두개의 입자가 된 것으로 나타나게 되지 않을까?
(어제 수업시간에 했던 질문)

2.
상대론을 양자역학에 접목시키려면 그렇게 변환하면 안된다는 답변이...
그것보다도 상대론적 양자역학에서는 하나의 관찰자만을 가정한다고 했던 것 같다. 하나의 관찰자를 잡은 다음에는 그대로 쭈욱 가야 한다고....

3.
생각해보니 저 사건이 일어나려면 붕괴하는 사건은 space-like 관계여야 한다(즉, ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2으로 잡으면 ds^2>0). 그런데 그러면 입자가 빛의 속도 이상으로 움직였다는 말이 되는데, 이건 상대론의 가정에서 어긋나는구나.
(터널링이 일어난다면 가능할지도...)
그런데 그것보다도, 파동함수가 붕괴했을 때 그게 다른 관찰자에게는 붕괴한 것이 아닌 것으로 보일 수 있다는 것이 문제인듯 하다. A에게 동시인 것이 B에게 동시인 경우는 매우 드무니까...

4.
갑자기 지난 학기에 들었던 '파인만의 업적'이 생각났다.
이른바 재규격화(re-normalization)이라는 거였던 것 같은데, 조금은 알 것 같기도...
관찰자를 바꿀 때 마다 파동함수를 재규격화 해야 한다는 건가...

5.
결론> 슈뢰딩거 방정식이나 마스터하고 디랙으로 넘어가든가 하자 -_-