'연산자'에 해당되는 글 3건

  1. 2009.12.14 운동량 연산자에 대해서(1) (7)
  2. 2009.10.20 Time operator? (2)
  3. 2009.04.25 Operator determination
양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla
3차원 공간에서 운동량 연산자. Wikipedia: Momentum operator

그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.

1. 어떤 연산이 있어 운동량에 대응된다.
\langle{p}\rangle=\int\psi^{\star}{p}\psi{dx}

2. 고전적인 운동량에 해당하는 값은 다음과 같다.
p_{classical}=m\frac{d}{dt}\langle{x}\rangle=m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}

3. 이미 알려진 Schrodinger 방정식을 적절히 손보면, 다음 식을 얻는다.[각주:1]m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}=\int\psi^\star{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}\psi{dx}

4. 여기서 운동량에 해당하는 연산을 찾을 수 있다.(연산자를 강조하기 위해 ^ 사용)
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
하나의 계에 대한 Schrodinger 방정식
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)
입자 하나에 대한 Schrodinger 방정식. Wikipedia: Schrodinger equation

H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?



쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
  1. Griffith 책에 있으니 생략. [본문으로]
  2. Schrodinger 방정식이라는 대전제 안에 운동량에 대한 가정이 포함되어 있고, 우리는 이 보이지 않는 가정을 일련의 과정을 통하여 벗겨낸 것일 뿐이다. [본문으로]

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  1. Favicon of http://www.yutiro.com BlogIcon 순원  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요.
    사실 Griffith 책에서는 빠른 이해를 위해서 위와 같이 유도를 해 놓았지만,
    실제로 p 연산자는 x 연산자와의 commutator relationship 으로만 정의되는
    것 아닌가요?

    말하자면 논리 구조가 다음과 같은것이죠.
    1. 양자역학은 헤밀토니안 역학에서, 연산자 도입, 파동함수 도입... etc
    이러쿵 저러쿵되어 정의된다.

    2. 이 중에서 x 연산자를 다음과 같이 정의하고(이를 이용해서 파동함수를 표현)
    이에 헤밀토니안 역학에서 conjugate momentum인 p 연산자를 정의한다.
    이 때 헤밀토이안 역학의 conjugate momentum은 양자역학에서 commutation
    relationship이 됩니다.

    3. 2번에 입각해서 수식을 쓰면 그것이 위에 유도한 공식이 됩니다.


    이 논리에 따르면 헤밀토니안 연산자에 운동량 개념이 내제되어 있는 것은 아니고,
    헤밀토니안 연산자는 x basis로 표현되어지며, 여기서 p 연산자가 x basis로
    끄집어 내어진것이겠죠. 참으로 재밌게도 (어쩜 당연하게도) H가 p^2/2m을 함유하고
    있는것으로 나왔고 이는, p가 x의 conjugate momentum이기 때문에 나타는 현상이죠.
    이를 Ehrenfest's theorem이라고 하나요?

    2010.04.26 10:42
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.26 14:10 신고  댓글주소  수정/삭제

      나중에는 translation을 생성하는 operator로 정의하긴 하는데, 처음 Schrodinger가 S.E을 유도했을 때에는 운동량 연산자가 그처럼 생겼을 것이라는 가정에서 출발했더라구요. 그리고 운동량 연산자가 그렇게 생겼으리라는 가정은 아마도 파동의 성질에서 나온 것 같아요. Hamiltonian 역학에서 어떤 극한을 취하면(잊어버렸는데 -.-;;) 파동방정식처럼 변하게 되는데, DeBrogile 운동량-파장 가설에서도 운동량 연산자가 이렇게 나타나게 되고, Hamlitonian 역학에서는 당연히 그렇게 정의되고, 뭐 그런거죠.
      결국 하고 싶었던 말은 Griffith 책에서처럼 운동량 연산자가 되는 것을 보이는 것은 동어반복이라는 것이었구요. 이런 유도가 갖는 의미라면 일단 모순은 없다 정도 되겠네요.

  2. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    순원 선배님이 말씀해 주셨지만, p operator랑 x operator 자체가 어쩌면 commute relation으로 정의된다고 할 수 있겠죠. 하지만 보다 일반적으로 나가면, 사실은 creation operator, a+ 와 annelation operator a를 정의하고 이것의 commute relation을 정의하는게 먼저라고 할 수 있습니다. fermion에 대해서는 [a,a+]=1이고 boson에 대해서는 {a,a+}=1이라고 하죠. 보존에 대한 경우를 Grosmann Algebra에 해당하는 경우고 Fermion에 대한 경우는 딱히 이름이 있는지는 모르겠는데 어쨌든 Clifford Algebra 의 special case라고 할 수 있겠네요. a와 a+는 x와 p의 합으로 표현되니까 파동함수의 대수적 성질을 이 연산자를 이용해 정의했다고 할 수 있죠,
    그러니까... H= p^/2m이라는 결과는 x의 표현이라기보다는... 그자체로 맞는 식이고 p가 어떻게 x space에서 표현되는지가 알고싶은 issue라고 할 수 있을거 같네요.
    이같은 논의는 사쿠라이에 보면 간략히 나오는데, 간단히 말하자면...학부에서 waveFtn이라고 부르는 psi는 사실은 <x|psi>잖아요? 모멘텀 오퍼레이터는 algebraic object라 사실은 explicit form이 필요 없는데, int dx |x><x| =1 이 identity를 사용해서 p |psi> = int |x><x|p|psi>이고 <x|p == -i round <x| 를 사용했다고 볼 수 있죠. 사실 마지막 줄에서 사용한, |x>와 p의 위치를 바꿀때 사용한 식은 momentum 의 x에 대한 representation은 translation operator의 generator라는 정의에서 나오는 것이라고 볼수 있습니다. waveFtn을 a만큼 옮기는 operator는 아시다시피 exp(-iap/hbar) 에서 나왔고, 이것을 x 표현에서 infinitisiml한 a에 대해 생각하면 x space에 대한 p 표현이 유도됩니다. 위와 같이 에렌페스트 정리를 이용해서 고전역학과의 대응관계를 생각하는것도 틀린 추론이라고 불 순 없지만 대수적으로는 이게 옳은 approach라고 생각됩니다..

    2010.04.27 21:32
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      그러니까 지금 하고싶은 말이 creation과 annhilation을 먼저 정의하고 얘네의 조합으로 momentum을 얻는다는 말인거지? 원래는 자연수만 있었는데 여기에서 실수를 얻고 더 근본적(?)인 것이라고 생각하자는 것과 비슷한건가...

  3. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    뭐 사실은 독립적인 것이기는 한데.. p operator는 translation operator의 generator로 정의되니까... (정확히는 hbar factor가 있겠지만) 이게 바로 어떤 공간 이동에 대해서 불변인 양을 나타내는 것이기도 하고.. 그런데 사실은 뭐 p=-i del 자체가 벡터이기도 하고...말하다보니 복잡하게 돼버렸네 어쨌든 중요한 건 사실 p의 x 에 대한 representation이 딱히 중요하지는 않다는거지. 입자가 여려개 있거나 상대론적으로 가면 운동량 연산자 자체를 explecit하게 정의하는 게 힘들기도 하고. 실제로 중요한건 system의 lagrangian이니까.

    2010.04.28 00:26
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실은 독립적인 거라면 음냐 무언가 꼬인 것 같은데 -_-

      뭐 하긴 Hamiltonian은 그냥 그 계를 잘 묘사해주기만 하면 되는 거니까 operator가 실제로는 무엇이냐 논의하는게 무의미할지도.

      원래 이 글은 '어떤 경로로 그렇게 생긴 operator를 도입하게 되었는가'를 추적하려던 것이라 댓글들은 무언가 벗어난 것 같지만

  4.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Google 에서 Momentum operator 를 치면 wikipidia 에서 잛고 간략하게 운동량 연산자가
    -(ih/2p)i*d/dx 로 정리되어있는지 schrodinger equation 과 debroglie relation 을 간단히 연립하여 유도한 설명이 있습니다.

    ps : 저도 궁금해서 찾아보던중에 알게 되어 말씀드립니다.

    2014.07.03 16:58

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]

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  1. 나묵  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    string에서는 t operator가 있는디? 그리고 내생각에 슈레딩거 방정식에서도 잘하면 t operator를 정의할 수 있을거같은데...예를들면 supersymmetric schrodinger같은거

    2010.05.11 19:54
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.05.11 22:16 신고  댓글주소  수정/삭제

      일반 SE에서도 susy 도입할 수 있는거? string은 일단 무시. SE만 다루고 있잖아 -_-

      그냥 가장 큰 문제는 t의 평균값을 계산할 수 없다는 건데 -_-;;

Operator determination

Physics 2009.04.25 09:52
x-space에서 위치와 운동량의 측정값을 나타내는 Operator는 다음과 같다.

\hat{x}\equiv{x}\\\hat{p}\equiv{-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}}

이를 더 간단한 k에 대해 나타내어 보자. 잘 알려진 바와 같이, 운동량 p는 k의 간단한 상수배이다.

p={\hbar{k}}\\\therefore\hat{k}={-i\frac\partial{\partial{x}}}

이제 각 알려진 연산자들에 대해 eigenstate를 구해보자. 먼저 x 연산자에 대해 x'이라는 eigenvalue를 얻어내는 eigenstate를 x에 대해 나타내면 다음과 같다.

\hat{x}|\varphi_{x'}\rangle=x'|\varphi_{x'}\rangle\\\therefore\,\langle{x}|\varphi_{x'}\rangle=\delta(x-x')

이는 k에도 마찬가지로 적용될 수 있다.

\hat{k}|\varphi_{k'}\rangle=k'|\varphi_{k'}\rangle\\\therefore\,\langle{k}|\varphi_{k'}\rangle=\delta(k-k')

각자의 eigenstate를 간단하게 쓰자.

|x\rangle\equiv|\varphi_x\rangle\\|k\rangle\equiv|\varphi_k\rangle

한편

\langle{x}|\hat{k}|k\rangle=-i\frac{d}{dx}\langle{x}|k\rangle=k\langle{x}|k\rangle\\\therefore\,\langle{x}|k\rangle=Ae^{ikx}

(주의 : 편미분 대신 일반적인 미분 d를 사용한 것은 eigenstate k를 x에 대한 함수로 취급하기 위함이다.)
여기서 A는 아직 정해지지 않은 상수이다. 한편

\int\langle{k'}|x\rangle{dx}\langle{x}|k\rangle=\langle{k'}|k\rangle=\delta(k'-k)

이므로

\langle{k'}|x\rangle=\frac1{2\pi{A}}e^{-ik'x}

을 얻는다. 앞의 상수가 일치하도록 조절하면(둘은 complex conjugate 관계라는 것을 고려한다)

\frac1{2\pi{A}}=A\\\therefore\,A=\frac1{sqrt{2\pi}}

을 얻는다. k 연산자는 k-space에서 단순한 상수로 나타나는데 그러면 x 연산자는 어떤 꼴로 나타날까? 구해보자.

\langle{k}|\hat{x}|x\rangle=x\langle{k}|x\rangle\\\hat{x}Ae^{-ikx}=xAe^{-ikx}\\\therefore\,\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}

(주의 : 변수는 k이기 때문에 이런 꼴로 나타나는 것이다.)
좀 더 명확하게 말하자면

\langle{k}|\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}\langle{k}|

이라고 할 수 있을 것이다. 이를 다시 p에 대해서 나타내면

\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|

라고 할 수 있다. 다음 두 식을 보면, 재미있는 대칭성이 존재한다는 것을 볼 수 있을 것이다.

\langle{x}|\hat{p}=-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}\langle{x}|\\\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|


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