'멱집합'에 해당되는 글 2건

  1. 2010.04.17 Power set, again
  2. 2010.03.15 Power Set에 대한 잡담 10

2010. 4. 17. 17:34 Mathematics

Power set, again


KP집합론이라는 녀석을 발견했다.


이 녀석에서는 멱집합 공리를 가정하지 않는다고 한다. 유한집합에 대해서 멱집합을 멱집합 공리 없이 만들어내는 방법이 있는 것이 확실해 보인다.

글을 여기에서 끝내기에는 글이 너무 짧아 좀 그러니까 내가 시도한 방법을 공개한다.

1. Axiom of Existence, Axiom of Extensionality, Axiom of Pair, Axiom of Union, Axiom schema of Replacement를 가정. 모든 자연수에 대해 그 멱집합이 존재함을 보일 것이다. 어떤 집합의 크기가 자연수라면 당연히 자연수와 일대일 대응 관계가 존재하므로 그 관계를 이용해 멱집합의 모든 원소들을 바꾸어주면 땡.

2. 자연수는 일반적으로 통용되는 정의(0={}, 1={0}, 2={0,1}, ...)를 사용한다.

3. 다음 operation을 정의한다.

4. 수학적 귀납법만 남았다.
i. 0에 대해 멱집합이 존재한다.
ii. n에 대한 멱집합이 존재한다고 가정하자. n+1에 대한 멱집합은 다음과 같다.
(증명은 생략. 헤맬 독자들을 위해 간단히 설명하자면, 전 멱집합에 마지막으로 추가된 원소 하나씩 집어넣은 녀석들을 합집합 해주는 거다.)

5. 모든 유한집합에 대해서 멱집합은 공리 없이 존재합니다! 우왕ㅋ굳ㅋ

문제는 3번이다. 저게 존재한다는 것을 어떻게 보일 수 있으려나...

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Posted by 덱스터
ZF 집합론을 공부하는 중인데, 보다 보면 멱집합(Power set)의 공리라는 것이 있다.


그러니까, 어떤 집합이 있으면 항상 그 부분집합 전체를 원소로 갖는 집합(멱집합이라고 부른다)이 존재한다는 것이다. 그런데 이게 공리여야 할 필요가 있나 싶다. 먼저 부분집합은 당연히 존재한다.(제한된 내포공리꼴-Axiom Schema of Restricted Comprehension을 이용하면 된다.) 그리고, 이 부분집합들을 자기 자신과 짝을 맺어 다시 집합으로 만드는 것이 가능하다(짝공리-Axiom of Pair; 집합에 중괄호{}를 한번 더 씌워줄 수 있다는 의미). 그리고 이렇게 만들어 낸 집합들의 합집합을 만들어낼 수 있는데(이건 짝공리와 합집합 공리-Axiom of Union를 꼬으면 된다), 이렇게 얻을 집합이 바로 멱집합이 되기 때문이다. 따라서 공리로 채택하기보다는 정리(Theorem)으로 유도해도 될 것 같다는 느낌이 든다. 물론 이건 유한집합에서의 이야기이지만.

생각해보면 무한집합에서 멱집합을 정의해줄 필요가 있어서 이런 공리를 택하는 것 같다. 무한차원에서의 선형대수학도 기저(base)를 정당화하기보다는 그렇다고 정의해버리니까 말이다.(제대로 공부해본 적은 없어서 확실하다고는 못 하겠지만.) 나중에 교수님께 질문해보지 뭐.

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Posted by 덱스터
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