'멱집합'에 해당되는 글 2건

  1. 2010.04.17 Power set, again
  2. 2010.03.15 Power Set에 대한 잡담 (10)

2010. 4. 17. 17:34 Mathematics

Power set, again


KP집합론이라는 녀석을 발견했다.


이 녀석에서는 멱집합 공리를 가정하지 않는다고 한다. 유한집합에 대해서 멱집합을 멱집합 공리 없이 만들어내는 방법이 있는 것이 확실해 보인다.

글을 여기에서 끝내기에는 글이 너무 짧아 좀 그러니까 내가 시도한 방법을 공개한다.

1. Axiom of Existence, Axiom of Extensionality, Axiom of Pair, Axiom of Union, Axiom schema of Replacement를 가정. 모든 자연수에 대해 그 멱집합이 존재함을 보일 것이다. 어떤 집합의 크기가 자연수라면 당연히 자연수와 일대일 대응 관계가 존재하므로 그 관계를 이용해 멱집합의 모든 원소들을 바꾸어주면 땡.

2. 자연수는 일반적으로 통용되는 정의(0={}, 1={0}, 2={0,1}, ...)를 사용한다.

3. 다음 operation을 정의한다.

4. 수학적 귀납법만 남았다.
i. 0에 대해 멱집합이 존재한다.
ii. n에 대한 멱집합이 존재한다고 가정하자. n+1에 대한 멱집합은 다음과 같다.
(증명은 생략. 헤맬 독자들을 위해 간단히 설명하자면, 전 멱집합에 마지막으로 추가된 원소 하나씩 집어넣은 녀석들을 합집합 해주는 거다.)

5. 모든 유한집합에 대해서 멱집합은 공리 없이 존재합니다! 우왕ㅋ굳ㅋ

문제는 3번이다. 저게 존재한다는 것을 어떻게 보일 수 있으려나...

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Posted by 덱스터

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ZF 집합론을 공부하는 중인데, 보다 보면 멱집합(Power set)의 공리라는 것이 있다.


그러니까, 어떤 집합이 있으면 항상 그 부분집합 전체를 원소로 갖는 집합(멱집합이라고 부른다)이 존재한다는 것이다. 그런데 이게 공리여야 할 필요가 있나 싶다. 먼저 부분집합은 당연히 존재한다.(제한된 내포공리꼴-Axiom Schema of Restricted Comprehension을 이용하면 된다.) 그리고, 이 부분집합들을 자기 자신과 짝을 맺어 다시 집합으로 만드는 것이 가능하다(짝공리-Axiom of Pair; 집합에 중괄호{}를 한번 더 씌워줄 수 있다는 의미). 그리고 이렇게 만들어 낸 집합들의 합집합을 만들어낼 수 있는데(이건 짝공리와 합집합 공리-Axiom of Union를 꼬으면 된다), 이렇게 얻을 집합이 바로 멱집합이 되기 때문이다. 따라서 공리로 채택하기보다는 정리(Theorem)으로 유도해도 될 것 같다는 느낌이 든다. 물론 이건 유한집합에서의 이야기이지만.

생각해보면 무한집합에서 멱집합을 정의해줄 필요가 있어서 이런 공리를 택하는 것 같다. 무한차원에서의 선형대수학도 기저(base)를 정당화하기보다는 그렇다고 정의해버리니까 말이다.(제대로 공부해본 적은 없어서 확실하다고는 못 하겠지만.) 나중에 교수님께 질문해보지 뭐.

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Posted by 덱스터

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  1. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.16 02:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저 공리 없이는 직관적으로는 가산집합만 만들 수 있습니다. 비가부번집합은 못 만들어 냅니다.

    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.16 03:07  댓글주소  수정/삭제

      그런데 사실 가산집합에 그런 직관을 적용해서 멱집합을 구성하는 일은 논리적으로 굉장히 복잡할 것 같습니다. 일단 부분집합은 존재하겠지만 부분집합 하나하나를 구별할 수 있느냐가 문제지요. 그래야 나중에 합집합을 했을 때, 그 집합이 A의 임의의 부분집합을 포함하는 집합인지 알 수 있을 것 아니겠습니까.

      차라리 A의 멱집합부터 존재함을 생각하고, 멱집합의 임의의 원소로 A의 부분집합을 다룰 수 있다고 생각하는 게 더 편하지 않을까요.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.16 08:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      그렇군요 ㅇ-ㅇ

      하긴 무한집합을 못 다루는 집합론은 존재 의의가 좀...-_-;;

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.16 08:04 신고  댓글주소  수정/삭제

      부분집합 하나하나 구별하는건 그리 어려워 보이지는 않아요. 우리에겐 2진법이라는 막강한(?) 명명법이 있으니까요. 유한집합이라면 어떻게든 그 원소에 순서를 줄 수 있고, 모두를 포함하지 않는 공집합부터 전체 집합과 동일한 부분집합까지 전부 셀 수 있으니까요. 원소의 수만 안다면 2^n이라는 유한한 계산과정을 통해 얼마든지 멱집합을 구할 수 있지 않을까요? 그리고 이런 복잡한 과정을 무시하라고 정리가 있는거구요.

    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.16 13:13  댓글주소  수정/삭제

      일단 A의 부분집합이 존재하고 이를 B라고 하면 집합 {B}가 있는 것은 당연하죠. 그런데 지금 궁금한 건 이런 집합 B를 모두 뽑아서 {B}를 취하고 이를 나열할 수 있느냐는 겁니다. 이를 집합론의 말로 쓰면 결국 {{B}|B is a subset of A}라는 집합이 존재한다는 게 될텐데, 이 집합이 존재함을 보장할 수 있는지가 의문. (멱집합 공리와 동치로 보입니다.) 존재한다면 저 집합에 대한 합집함을 구할 수 있으니까 상관 없지요.

      또 '센다' '가산집합' 같은 개념도 실은 자연수 집합의 구성까지 가야 다룰 수 있는 거기 때문에 너무 돌아가는 듯 싶기도 하구요. 아마 그렇게 되면 주어진 집합 A에서 자연수 집합 N으로 가는 함수(혹은 그 역함수)를 잡아서 하면 될 것 같기도 한데, 왠지 선택공리하고 마주할 것 같습니다. 그런데 선택함수는 또 어찌하죠, 으악.

      이래저래 좀 골치 아파지는 듯 싶습니다. (...)

      일단은 도전문제로 남겨 놓으심이...

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.17 16:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      교수님께 물어보니 '유한집합'에 대해서는 귀납법을 이용해 증명하면 될 것 같다고 하시더군요. 유한집합은 자연수와 대응하는 집합으로 정의하면 된다면서. 재미있는 프로젝트가 될 것 같다는 말씀은 하시던데 -_- 흠;;

      B를 부분집합이라고 한다면 B는 당연히 존재하고(제한된 내포공리꼴을 이용하면 당연히 존재하니까요), 짝공리를 쓰면 {B}가 존재한다는 것을 보일 수 있고, 또 {{B}}도 동일한 이유로 존재하고, 그 다음 {{B_1}}과 {{B_2}}(부분집합을 레이블링 한다면)를 합집합 공리를 이용해서 {B_1, B_2}가 존재하겠죠.

      문제는 귀납법을 어떻게 적용하느냐인데..

  2. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.17 20:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그런데 일단은 그 레이블링을 위해서도, 귀납법을 적용하려면 자연수 집합을 구성해야 한다는 이야기. 아마 지금 쓰고 계시는 교재에도 나올 거에요. 다만 그렇게 첨수를 주는 것도 집합을 통해서 구성되니까 그 작업도 꽤 골치 아파 보입니다.

    여하튼 꽤 재미 있어보이는 도전문제입니다. 나중에 다시 공부할 일 있으면 NBG에서 한번 해볼까. (...)

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.18 00:10 신고  댓글주소  수정/삭제

      일단 유한한 자연수에 대해 멱집합을 공리 없이 구성할 수 있다는 것만 증명해도 문제의 70%는 해결될 것 같은데 말이죠 -_- 흠

      일단은 항공역학 공부부터(...)

  3. hmmm 2010.03.19 20:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    weisterns첨보다 엄청 활성화 된듯요 ㅎ
    그건 그렇고 우울증 완전 탈피한건 아니지만 나름 적응중
    다시 생각해보면 우을증이 아니라 조울증이라고 생각되요 아 리튬 먹어야 하나

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