'원 위의 임의의 두 점을 골랐을때의 거리의 기하평균'을 구할 일이 있어서 다음과 같은 적분을 할 일이 생겼다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx \]


매스매티카에 돌려보면 이 적분의 값은 $ - \log 2 $라고 한다. 어째서인지 직접 계산해서 보일 수 있을 것만 같은 값이라서 적분을 이리 고치고 저리 고치는 삽질을 좀 하다가 직접 증명이 가능하다는 것을 확인하는데 성공했다. 생각보다는 간단한 트릭이었음.


우선 적분을 다음과 같은 꼴로 바꾼다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = 2 \int_0^{1/2} \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]


이 적분은 이런 꼴로도 변환할 수 있다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( 2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} ) dx \]


로그를 분해한 후 코사인에 대한 적분에서 변수변환 $x \to 1-x$을 적용하면 다음과 같이 정리된다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \log 2 + 2 \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]


두 표현을 잘 정리하면 원하는 답을 얻는다.


\[ \therefore \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = - \log 2 \]

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

행렬식의 섭동계산  (0) 2020.07.30
Integral for Dirac delta  (0) 2020.03.26
Summing Combinations  (0) 2015.11.06
Series Expansion  (0) 2015.10.01
이항전개와 수치근사  (1) 2015.05.01
Posted by 덱스터

블로그 이미지
A theorist takes on the world
덱스터
Yesterday
Today
Total

달력

 « |  » 2024.3
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
31

최근에 올라온 글

최근에 달린 댓글

글 보관함