Dexter's story

에너지, 일-에너지 정리와 열역학 제 1법칙

들어가기 앞서 물리는 자연을 수학이라는 도구로 모델링하는 학문이라는 것을 상기하도록 하자. 수학적으로 모델링을 하는데 있어서 중요한 것은 어떤 경우에도 변하지 않는 소위 "불변량" 이라는 것이다. 이 불변량들이 특히 편리한 이유는, 수학적으로 쉽게 다룰 수 있기 때문이다. 일례로 뉴튼의 제 2법칙에서 얻어지는 F=ma라는 공식만 해도, 질량이 변하지 않는다는 가정 하에서 얻어진 방정식(즉, 질량을 불변량으로 취급한 방정식)이라는 것을 생각해 본다면 수학이 얼마나 쉬워지는가에 대해서는 의심할 여지가 없어 보인다.

이런 불변량들은 물리에서 다양하게 나타난다. 고전 역학부터 따져본다면 운동량, 각운동량 등이 있으며, 한참 후에 다루게 될 특수상대론에서는 spacetime interval(한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르나 시공거리라고 부르자)이 보존되고, 또 나중에 다룰 양자역학에서는 parity 등의 다양한 불변량들이 존재한다. 하지만 그 중 운동량 보존만큼 기초적이면서 제일 큰 중요도를 갖는 것은 에너지라고 할 수 있을 것이다.

에너지는 무엇인가

앞서 힘이란 "'쉽게 변하지 않는 무언가'를 변화시키는 것" 이라고 정의한 적이 있다. 그리고 그 '쉽게 변하지 않는 무언가'는 운동이라는 성질이며, 이것을 정량화한 것이 운동량으로 힘은 "운동량을 변화시키는 것"으로 정의되었다. 물론 이때 변화시킨다는 것은 시간의 개념을 내포하고 있으며, 힘은 운동량의 시간에 따른 변화량으로 정량화할 수 있었다. 그렇다면 에너지는 무어란 말인가?

에너지는 무엇인가. 내 경험으로 미루어 볼 때 고전역학의 범위에서 에너지는 "'쉽게 변하지 않는 무언가'를 변화시킬 수 있는 잠재적인 능력" 이라는 정의가 가장 타당해 보인다. 고전역학의 관점을 따르자면 "운동을 변화시킬 수 있는 잠재적인 능력" 정도로 정리가 가능하다. 이제 그 자세한 내막으로 들어가 보자.

일-에너지 정리

에너지가 정의되었다. 그러면 이를 어떻게 정량화하는 것이 옳을까? 먼저 에너지를 어떻게 측정하는가의 문제가 생긴다. 운동을 변화시키는 능력, 그것도 잠재적인 능력은 어떻게 측정하면 되는 것일까? 엔트로피라는 개념을 나중에 다루겠지만, 에너지라는 것은 엔트로피처럼 그 '변화량' 을 측정하기는 쉬워도 그 '절대량'을 측정한다는 것은 쉽지 않다. 약간의 물리학 지식을 가진 사람은 에너지의 절대량을 측정할 수 있다고 할 지 모른다. 하지만 이것을 떠올려주기 바란다. 그대들이 측정한 에너지는 어떤 '절대적인' 기준점에 대해 측정한 에너지라는 것을. 그렇다. 엔트로피와 마찬가지로, 에너지라는 것은 어떤 기준 없이 절대량을 측정한다는 것이 거의 불가능하다. 그렇다면 그 변화량은 어떤 방법으로 측정하는 것이 옳을까?

이 변화량은 일이라고 불리며, 다음과 같이 정의된다. "힘의 경로 적분(path integral of force)".

W = ∫(a, b, vec[F] * vec[ds])

a는 적분의 밑, b는 적분의 위, vec[F] * vec[ds]는 힘벡터와 미소경로벡터의 내적을 나타낸다. 이 일은 에너지의 변화량으로 정의되며, 여기서 역으로 에너지를 정의할 수도 있다. 마치 엔트로피로 정의되는 온도로 엔트로피를 정의할 수 있는 것과 같이 말이다.

E_i + W = E_f ... W = E_f - E_i = ΔE

이제 일의 정의를 다시 한번 잘 살펴보자.

W = ∫(a, b, vec[F] * vec[ds])
= ∫(a, b, vec[dP]/dt * vec[ds])
= ∫(a, b, vec[dP] * vec[v])
= ∫(a, b, vec[P]/m * vec[dP])
= ∫(a, b, m^(-1) 1/2 d(vec[P] * vec[P]))
= ∫(a, b, m^(-1) 1/2 d(P^2))
= Δ(P^2 / 2m)

vec[ds]/dt = vec[v] 인 이유는 vec[ds]가 이동하는 경로이기 때문이다. 이 부분에 대해서는 따로 언급하지 않겠다.

이제 정리된 식을 자세히 보자. P^2 / 2m의 변화량이 일과 같아졌다. 만약 T := P^2 / 2m 라고 정의한다면

W = ΔT = T_f - T_i

를 얻는다. 식이 한결 간단해진 것을 알 수 있다. 여기서 흥미로운 점은 T는 운동량 P의 크기에만 관계하는 양이며 T의 차원은 에너지와 같다는 것이다(당연한 것이지만). 따라서 T를 운동에너지라고 정의한다면 외부에서 해준 일은 운동에너지의 변화이다 라고 정리할 수 있다. 이것이 일-에너지 정리이다.

포텐셜 에너지와 에너지 보존

이처럼 힘들게 얻은 에너지라는 개념을 어디에 사용할 수 있을까? 먼저, 일은 어떤 일정한 종류의 힘에 대해 상당히 재미있는 성질을 갖는다. 바로 '어떤 경로를 따라 이동하더라도 두 위치를 이동하는데 필요한 일의 양은 같다'는 것이다. 이런 종류의 힘을 보존력이라고 하는데, 모든 중심력(중심력은 우주의 모든 힘을 구성하는 기본이 된다는 것을 상기하기 바란다.)은 이런 종류의 힘에 속한다. 이에 대한 증명은 자세히 다루지 않겠지만, 이런 성질은 확실히 유용하다는 생각을 버릴 수 없다. 그 시덥잖은 적분을 일일이 하지 않고서도 일을 이용해서 속력을 계산할 수 있다는데, 그 누가 이런 간단한 방법을 버리겠는가?

앞서 계산을 했을 때, 일은 에너지의 변화량이라는 것을 알 수 있었다. 하지만 그것은 '일을 받은 쪽'의 에너지 변화량이다. 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 결코 일과 같지 않다. 그렇다면 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 어떻게 될까? 여기에 뉴튼의 제 3법칙을 적용시켜 보자. 뉴튼의 제 3법칙은 '어떠한 작용에 대해, 그와 반대되는 방향을 갖는 같은 크기의 반작용이 존재한다'는 것이다. 그렇다면 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 어떻게 되는 것일까? 단순히 생각하면 '반작용의 방향이 반대이므로 부호가 반대이고 크기는 같을 것이다' 이지만, 이렇게 단순하게 내린 결론이 결과적으로는 옳다. 왜냐하면, 뉴튼의 제 3법칙이 적용되는 힘의 거리적분이 일이기 때문이다. 적분에서 안에 있는 상수(이 경우에는 -1)는 적분 밖으로 빼 줄수 있다. 이런 식이다.

W_r = ∫(a, b, -vec[F] * vec[ds]) = -∫(a, b, vec[F] * vec[ds]) = -W

여기서 W_r은 받은 일을 말한다. 이처럼 적분이 이렇게 간단화되면, 받은 일은 한 일과 부호가 반대임을 쉽게 알 수 있다. 여기에 받은 일은 자신의 에너지 변화라는 것을 생각해 본다면

ΔE = -W

라는 결론에 다다르게 된다. 이를 다룰 때, 에너지의 변화량은 최종위치에만 따라 일정하다는 것을 알 수 있다. 위치에 따라 결정되는 상태함수라는 것이다.(상태함수란 처음과 끝 상태만 값에 관계있는 함수이다.) 이런 종류의 에너지를 하나로 다루면 편리할 것이라는 생각이 든다. 그래서 나온 것이 포텐셜 에너지라는 개념이다. 위치에 따라 어떤 정해진 절차로 그 위치에 해당하는 에너지라는 숫자를 배당시켜 준다면, 그 숫자의 차이로 일을 계산할 수 있는 것이다.

이제 이 숫자를 어떻게 배당하는 것이 옳을까? 일을 이용하면 된다. 어느 점을 기준점으로 잡아서 그곳에 숫자 0을 배당하고, 그 점을 기준으로 일을 했을 때 이 점에서는 무슨 숫자가 배당되야 옳은 결과가 나오는지를 살펴보는 것이다. 대부분의 중심력의 경우 이 기준점은 무한원점에 배당한다. 이렇게 기준점을 무한원점에 배당한 경우에 측정한 에너지를 일반적으로 포텐셜 에너지라고 부르는 데, 이를 절대적인 것으로 생각하지는 말았으면 좋겠다. 어떤 경우에는 이처럼 어리석은 짓도 없기 때문이다.

한편, 이 논의를 두 계로 구성된 차단된 계에 확장하면(차단된 계란 에너지의 유입이나 유출이 없는 계를 말한다)

ΔE_1 = -W = -ΔE_2
∴E_1i + E_2i = E_1f + E_2f

를 얻는다. 에너지의 유입이나 유출이 없는 계 안에서는 에너지의 합이 항상 일정하다는 것이다. 이를 에너지 보존 법칙이라고 부른다. 이 법칙은 다른 법칙과는 다르게, 여태까지 예외가 발견된 적이 없는 유일한 법칙이다. 단, 일부 에너지의 종류에서는 에너지가 증가하거나 감소하는 효과를 보일 수 있으나(에너지는 지금 다룬 포텐셜 에너지와 운동에너지 말고도 많이 존재한다. 하지만 대부분의 에너지는 미시적으로 따졌을 때 이 두가지 에너지로 표현될 수 있다.) 모든 종류의 에너지를 고려한다면 예외가 알려진 바 없고, 또한 예외가 있을 리 만무한 법칙이다.(개인적으로는 만무하다는 표현을 사용하기는 했으나, 이는 인간의 오만에 불과한 것이 아닌가 하고 생각하기도 한다.)

에너지 보존의 확장 1: 열역학 제 1법칙

다음으로 이 논의를 차단되지 않은 계로 확장해 보자. 먼저 흘러들어온 에너지는 들어와서 저장되거나 어디론가 빠져나가야만 한다. 흘러들어온 에너지의 양은 일정하기 때문이다. 그렇지 않다면 에너지가 어디선가 새어서 사라졌다는 말이 되고, 이것은 에너지 보존 법칙에 어긋나는 결과이다. 먼저 흘러 들어온 '알짜' 에너지, 즉 '알짜 일' 만 고려해 보자. 받은 일은 자신의 에너지 변화와 같다. 그러므로

ΔE = W_r'

이다. 그런데 생각해 보자. W_r'은 '알짜'로 계에 굴러들어온 에너지이다. 그렇다면 실제로는 굴러들어온 에너지에서 굴러나간 에너지를 제거해 준 것이 된다. 굴러들어온 에너지를 Q, 굴러 나간 에너지는 자신이 한 일과 같으므로 W라고 해 준다면

ΔE = Q - W

를 얻는다. 이를 보기 좋게 정리해 주면

Q = ΔE + W

이것이 에너지 보존을 일반화시킨 열역학 제 1법칙이다. 일반적으로 이 법칙은 열에너지에 적용한 것이라고 하지만, 필자의 경우에는 에너지 보존 법칙을 사용할 때 이 법칙만큼 편리한 방법을 아직까지는 찾지 못했다. 이 식을 사용하면 자신이 놓친 부분까지도 고려할 수 있기 때문이다.(많은 경우에 에너지를 사용하여 푸는 경우 외부에서 들어오는 에너지를 생각하지 못하는 경우가 있다.)

에너지 보존의 확장 2; 베르누이 방정식

유체에서 이런 에너지 보존을 다룰 수도 있다. 이 경우에는 베르누이 방정식이라고 알려진 다음과 같은 방정식으로 표현된다.

(ρv^2)/2 + ρgh + p = constant

이 식은 포텐셜 에너지가 mgh로 주어졌을 때 에너지 보존 법칙에서 얻어진다. 이 부분에 대해서는 포텐셜 에너지가 mgh로 주어진 계에서 에너지를 부피에 대해 미분해 주면 얻어진다는 정도로 설명하고, 이후 부분은 독자들의 연습용으로 남겨두기로 한다.


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에너지 보존 이전의 부분은 전부 http://blog.naver.com/jwkonline 에 있습니다.