2009. 2. 10. 20:38 Physics/Concepts
하늘에 떠다니는 물에 의한 빛의 굴절과 산란에 대하여(1)
일요일(그러니까 대보름 전날) 달무리를 보았습니다. 여태 달무리는 달 주변에 조그맣게 생기는 것인 줄 알았는데 엄청 크더군요.(쿨럭;) 뭐 초중딩때 과학 공부(특히 기상 부분 OTL) 조금 하셨다면 달무리나 해무리는 48시간 이내에 비가 온다는 것을 예보하는 기상 현상이라는 것도 아실 겁니다. 마침 나갔다 들어왔는데 이슬비가 내리더군요.
제가 눈대중으로 잰 달무리의 반경은 0.38 래디언, 즉 약 22도였습니다. 달무리를 만드는 그 각도가 어떻게 생겨나는가에 대해 고심하기 시작했지요. 덕분에 고딩때 손 놓았던 기하광학에 빠져들었습니다.
먼저 몇가지 가정을 해 보겠습니다.
1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.
그리고 달무리의 사진을 봅시다. 해무리도 좋습니다.(편의상 위키피디아의 Halo 항목에 있는 사진을 가져왔습니다.)
안쪽이 어둡습니다.
이건 빛의 굴절이 어느 각도 이하에서는 일어나지 않는다는 의미입니다. 그러니까, 22도 이하에서는 일어나지 않던 빛의 굴절이 22도 이후부터 생겨나기 때문에 상대적으로 안이 어둡고 밖이 밝은 무리가 생긴다는 것입니다. 이건 무리가 어떻게 생기는가에 대한 탐구 방향을 제시해줍니다.
case I. 1회 굴절할 경우
델타(δ)가 물방울 안에서 반사가 일어나지 않을 때, 광선이 휘어지는 각도입니다. 이 각도는 입사각인 베타(β)와 물의 굴절률 n에 의해 영향을 받게 됩니다. 이등변삼각형의 원리와 스넬의 법칙, 그리고 기타 등등을 버무려서 계산해 보면, 다음 식을 얻게 됩니다.
하지만 입사각이 전부 동등한 중요도를 갖지는 않습니다. 당연히 입사각이 똑바를수록 더 많은 입사광을 받겠지요. 그래서 중요한 것은 물방울의 중심으로부터 얼마만큼 떨어져 있으면 얼마만큼 굴절되느냐입니다. 물방울에 비치는 빛이 일정할 경우 빛의 세기는 중심에서의 거리와 무관할 테니까요.
위의 그림에서 입사각 베타와 거리 d, 그리고 반지름 R 사이에는 다음의 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 편의상 거리대 반지름의 비율 d/R을 x라고 부르도록 하겠습니다. x는 0부터 1 사이에 속하는 수가 되겠지요?
이 결과를 굴절각 델타에 넣어보면 다음 식이 얻어집니다.
이 식을 이용해 그래프를 그려보겠습니다. 굴절률 n은 1.33을 넣었습니다.
x가 1일 때의 값은 약 1.44래디언으로, 각도로 따지면 약 82도 정도 됩니다. 이 상관 없어 보이는 숫자는 어디에 쓰이는 숫자일까요? 바로 태양이나 달이 밝히는 하늘의 범위입니다. 그러니까 태양이나 달을 중심으로 한 82도의 범위 내의 하늘은 굴절된 빛에 의해 밝게 빛난다는 뜻이지요. 이 값은 순수히 물방울에 의한 굴절만 계산했기 때문에, 반사광이나 먼지의 영향은 고려되지 않았다는 점에 유의하시길 바랍니다.
case II. 내부에서 1회 반사가 있을 경우
위의 경우입니다. 이번에도 마찬가지로 여러가지 식들과 싸우다 보면 다음의 결과를 얻게 됩니다.
흠... 일단 그래프 먼저 그려보겠습니다...
원하던 형태의 그래프입니다. 어느 각도 이하에서는 빛이 더 이상 굴절되지 못하지요. 해무리와 달무리처럼 말입니다. 그런데 문제는, 값이 π 근처에만 존재하는 것을 볼 수 있습니다. 최소값은 약 2.40래디언으로, 각도로 바꾸어주면 138도입니다. 180도에서 42도 모자란 셈이지요. 바로 무지개의 각도입니다. 결국 무언가 틀렸다는 말이 되는데, 무엇이 문제였을까요?
가정으로 돌아가 보겠습니다.
1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.
가정 1은 합당한 가정입니다. 달의 거리가 얼마나 먼데요...
가정 2가 문제입니다. 무리는 상공에 얼음이 떠 있을 때 만들어집니다. 얼음의 경우에는 결정이 구형이 아니라 육각형입니다. 그래서 이런 오류가 생기는 것이지요. 결국 구형 물체가 아닌 다른 물체를 가정해야 한다는 것이지요.(전 이 가정에서 이틀동안 헤매다가 결국 찾아보고 말았습니다.)
나머지는 포스트 2에서 찾아뵙겠습니다 -_-;;;
(포스트 하나 쓰는것도 은근히 힘들군요)
제가 눈대중으로 잰 달무리의 반경은 0.38 래디언, 즉 약 22도였습니다. 달무리를 만드는 그 각도가 어떻게 생겨나는가에 대해 고심하기 시작했지요. 덕분에 고딩때 손 놓았던 기하광학에 빠져들었습니다.
먼저 몇가지 가정을 해 보겠습니다.
1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.
그리고 달무리의 사진을 봅시다. 해무리도 좋습니다.(편의상 위키피디아의 Halo 항목에 있는 사진을 가져왔습니다.)
안쪽이 어둡습니다.
이건 빛의 굴절이 어느 각도 이하에서는 일어나지 않는다는 의미입니다. 그러니까, 22도 이하에서는 일어나지 않던 빛의 굴절이 22도 이후부터 생겨나기 때문에 상대적으로 안이 어둡고 밖이 밝은 무리가 생긴다는 것입니다. 이건 무리가 어떻게 생기는가에 대한 탐구 방향을 제시해줍니다.
case I. 1회 굴절할 경우
델타(δ)가 물방울 안에서 반사가 일어나지 않을 때, 광선이 휘어지는 각도입니다. 이 각도는 입사각인 베타(β)와 물의 굴절률 n에 의해 영향을 받게 됩니다. 이등변삼각형의 원리와 스넬의 법칙, 그리고 기타 등등을 버무려서 계산해 보면, 다음 식을 얻게 됩니다.
\delta = 2(\beta - \arcsin ( \frac {\sin(\beta)} {n})하지만 입사각이 전부 동등한 중요도를 갖지는 않습니다. 당연히 입사각이 똑바를수록 더 많은 입사광을 받겠지요. 그래서 중요한 것은 물방울의 중심으로부터 얼마만큼 떨어져 있으면 얼마만큼 굴절되느냐입니다. 물방울에 비치는 빛이 일정할 경우 빛의 세기는 중심에서의 거리와 무관할 테니까요.
위의 그림에서 입사각 베타와 거리 d, 그리고 반지름 R 사이에는 다음의 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 편의상 거리대 반지름의 비율 d/R을 x라고 부르도록 하겠습니다. x는 0부터 1 사이에 속하는 수가 되겠지요?
\beta = \arcsin(\frac{d}{R}) \\ = \arcsin(x) 이 결과를 굴절각 델타에 넣어보면 다음 식이 얻어집니다.
\delta = 2(\arcsin(x) - \arcsin(\frac{x}{n}))이 식을 이용해 그래프를 그려보겠습니다. 굴절률 n은 1.33을 넣었습니다.
x가 1일 때의 값은 약 1.44래디언으로, 각도로 따지면 약 82도 정도 됩니다. 이 상관 없어 보이는 숫자는 어디에 쓰이는 숫자일까요? 바로 태양이나 달이 밝히는 하늘의 범위입니다. 그러니까 태양이나 달을 중심으로 한 82도의 범위 내의 하늘은 굴절된 빛에 의해 밝게 빛난다는 뜻이지요. 이 값은 순수히 물방울에 의한 굴절만 계산했기 때문에, 반사광이나 먼지의 영향은 고려되지 않았다는 점에 유의하시길 바랍니다.
case II. 내부에서 1회 반사가 있을 경우
위의 경우입니다. 이번에도 마찬가지로 여러가지 식들과 싸우다 보면 다음의 결과를 얻게 됩니다.
\delta = \pi + 2\arcsin(x) - 4\arcsin(\frac{x}{n})흠... 일단 그래프 먼저 그려보겠습니다...
원하던 형태의 그래프입니다. 어느 각도 이하에서는 빛이 더 이상 굴절되지 못하지요. 해무리와 달무리처럼 말입니다. 그런데 문제는, 값이 π 근처에만 존재하는 것을 볼 수 있습니다. 최소값은 약 2.40래디언으로, 각도로 바꾸어주면 138도입니다. 180도에서 42도 모자란 셈이지요. 바로 무지개의 각도입니다. 결국 무언가 틀렸다는 말이 되는데, 무엇이 문제였을까요?
가정으로 돌아가 보겠습니다.
1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.
가정 1은 합당한 가정입니다. 달의 거리가 얼마나 먼데요...
가정 2가 문제입니다. 무리는 상공에 얼음이 떠 있을 때 만들어집니다. 얼음의 경우에는 결정이 구형이 아니라 육각형입니다. 그래서 이런 오류가 생기는 것이지요. 결국 구형 물체가 아닌 다른 물체를 가정해야 한다는 것이지요.(전 이 가정에서 이틀동안 헤매다가 결국 찾아보고 말았습니다.)
나머지는 포스트 2에서 찾아뵙겠습니다 -_-;;;
(포스트 하나 쓰는것도 은근히 힘들군요)
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