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Q.
한 쌍둥이 형제가 있습니다. 그 중 형은 성격이 꼬일대로 꼬인지라 어떤 말을 들으면 그 반대로 이해하고, 거기에 대해 반대로 대답합니다. 그에 반해 동생은 곧은 성격의 소유주라서 어떤 말을 들으면 거기에 대해 참으로만 대답합니다. 이 형제를 구분할 방법은 존재할까요?



각종 난감한 머리쓰는 문제를 내던 선임들을 한방에 잠재운 문제. 조금은 유명할 것 같은데...

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    둘 중 한 사람에게만 참이고 다른 한 사람에게는 거짓인 명제를 물어보면 되겠죠 ㅎㅎ

    2011.01.31 11:25 신고
  2. Freiheit  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    당신은 거짓말만 합니까? 라고 물어보는 건가요?ㅎㅎ
    근데 도대체 어떤곳에서 선임들이 머리쓰는 문제를 물어보는 거죠??ㅎ

    2011.01.31 12:27
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2011.01.31 20:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      그것도 답이 되죠. 제가 봤던 답은 "당신은 항상 참만 말합니까?" 였지만...
      선임들은 공군 커뮤니티에서 그런 문제를 얻어오나봐요. 전 아직 컴퓨터 다룰 짬이 안 되어서 -_-;;;

  3. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아니면 '당신은 형입니까'라고 물어봐도 되겠죠 ㅎㅎ 뭐 다 같은 말이지만요. 두 형제의 차이에 대한 자세한 정보가 있다면 가능한 답이 더 늘어나겠죠.

    2011.01.31 22:06 신고

어떤 n개의 자유도를 가진 scalar 함수 G가 있고, 이 값을 극대화하고 싶다. 물론 그냥 극대화하고 싶다면 gradient가 0이 되는 지점을 찾으면 된다.

\text{To find the maximum of }G=G(x_1,\cdots,x_n)\\\text{Find }(\chi_1,\cdots,\chi_n) \text{ where } \nabla G=0

하지만 상황은 그리 녹녹치가 않다. 대부분의 경우 우리가 취할 수 있는 위치는 제한되어 있기 때문이다. 예를 들어서 어떤 함수 R=0을 항상 만족해야 한다거나 말이다.

\text{But }R=R(x_1,\cdots,x_n)\text{must satisfy the relation }R=0

계산이 좀 귀찮아졌다. 일단은 변수의 개수를 두개로 줄이자. 우선은 완전미분에 대해 생각해보자. 제한조건을 만족하는 상황대로 조금 움직인다면 R의 변화량은 항등적으로 0이어야 한다. 왜? 상수값이니 말이다.

\text{To handle the problem, let }n=2\\\text{The exact differential of }R \text{ becomes}\\dR=\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2\\\text{when infinitesimal movement does not violate the requirement;}\\dR=0

그리고 편미분량이 취해지는 위치에서 G가 극대/극소값을 취하고 있다면 dR=0를 만족하는 조건 하에서 dG또한 0이어야 한다. 왜냐하면 극대/극소이기 때문이다.

\text{When the function }G\text{ takes the extremum at the point}\\\text{The exact differential of }G \text{ also satisfies}\\dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2=0\\\text{under the condition that }dR=0

그런데 dR=0이므로 두 자유도 중 하나는 다른 하나에 종속되게 되어 다음과 같이 이 방정식을 풀 수도 있다.

\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2\\\therefore dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2\\=\left[-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0\\\text{However, we are free to choose } dx_2 \text{, which implies}\\-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}=0

하지만 다른 방법은 없을까? 상수 alpha를 도입해 보자.

dR=0, dG=0\\\therefore dR-\alpha dG\\=\left[\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}\right]dx_1\\+\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0

물론 첫번째 변수의 미소변화량은 아직 두번째 변수의 미소변화량에 종속되어 있다.

\text{However, as the restriction is still not removed,}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2

그러므로 우리는 아직 두번째 변수의 미소변화량을 마음대로 변화시킬 수 있다.

\text{Therefore under this restriction, we can freely choose }dx_2\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0

그런데 만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.

\text{Assume we choose }\alpha\text{ so that}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}=0\\\text{Then }dR-\alpha dG =0 \text{ reduces to}\\\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2=0\\\text{As we are free to choose }dx_2 \text{, we must conclude that}\\\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\text{ must be zero as well}

라그랑주 승수법의 원리가 여기에 있다. 대략적인 논의는 여기까지. 변수 2개에서 n개로, 제한조건 1개에서 m개로의 확장은 안 해도 되겠지...

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  1. Yeoni  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저기.... 한국말로 이해못하겠어서 그런데 영어로 설명좀해주시면 안돼요?ㅠㅠ

    2013.11.12 15:00
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.11.12 23:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      어느 부분이 영어가 필요하신지요? 완전미분은 exact differential, 미소변화량은 infinitesimal change입니다.

      책이 필요하시다면 이 논의는 Reif 열역학 책의 부록에 있는 논의를 그대로 가져온 것이라고 말씀드립니다.

  2. 공돌이  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    질문 좀 해도 될까요?
    마지막에서 dx_2를 자유롭게 선택할 수 있다는 점에서 어떻게 '마지막 식이 0이 된다'는 결론을 이끌 수 있는 건가요?

    2013.12.05 00:20
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.05 19:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      '한 수 a에 임의의 수 b를 곱했을 때 항상 a*b=0 이라면 a는 0이어야 한다'라는 명제는 받아들이실 수 있으시죠?

      여기에 b를 dx_2로 보고 a를 그 앞의 항으로 보시면 됩니다.

  3. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 정리한 Lagrange Multiplier Formalism (라그랑지 승수법, 최적화). Complex variable이 들어간 경우를 다룬것이긴한데.. 접근 방법은 약간은 다른.. 참고해 보세요.

    // 링크가 바껴서 수정.

    http://kipid.tistory.com/entry/Method-of-Lagrange-multipliers

    http://kipid.tistory.com/entry/Optimization-with-the-Method-of-Lagrange-multipliers

    2014.12.27 12:05 신고
  4. 질문드립니다  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.
    -> 이 문제 이외에도 g(x,x',t) 와 같은 형식의 식과 제약조건이 있을 때 alpha 를 분모가 0이 되는 등의 이유로 잘 잡을 수 없다면, lagrange multiplier method 를 사용 할 수 없다 라고 생각 하는게 맞는지 궁금하여 질문 드립니다.

    2017.02.20 11:59
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2017.02.20 20:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      제약조건을 만족하는 점들이 변곡점이거나(gradient가 사라지는 점들이 되겠죠) 매끄러운 곡면이 아니라면(제약조건이 min(G1,G2)와 같은 꼴로 주어지는 경우) 위와 같은 방식으로 계산했을 때 문제가 생길 수 있습니다. 이런 경우에는 'Lagrange multiplier를 사용할 수 없다'고 생각하기보다는 '문제를 잘 조정해서 Lagrange multiplier로 풀 수 있도록 만들어야 한다'로 보아야 합니다.

짧게 잡소리

Daily lives 2011.01.08 14:23
1. 제설하고 살지요
펄~ 펄~ 눈이 옵니다, 하~늘에서 눈이옵니다.
올해 특히 많은 눈이 온다고 하네요. 와우! 할렐루야! 이건 축복이야! 엉엉
요즘은 그나마 눈이 덜 와서 다행이지만 영하 13도의 대한파(....)


2. 요령껏 하기
통계역학 공부하면서 익힌(?) 요령에 대해서 글을 적어보려 합니다.
테일러 근사를 그냥 하지 않고 로그를 써서 완만한 함수로 만든 뒤에 근사하기. 정규분포의 정당성과 중심극한정리, Stirling 근사식과 관계가 있죠.
그래도 물이 고여있지만은 않은 것 같아 기분이 나쁘지는 않네요.


3. 책
『한비자』와 『윤리학』을 읽고 있습니다. 한비자는 한비가 써서 한비자고 윤리학은 아리스토틀이 쓴 니코마코스 윤리학인데 둘을 비교하며 읽는것도 재미있더군요. 한비가 노장사상에 기반을 둔 탈인간적인 인간상을 이상적인 인간으로 제시하는 반면에 아리스토틀은 균형잡인 인간성의 인간적인(?) 인간을 이상형으로 제시하고 있으니 말이죠. 더불어 목요일에 신우회라고 기독교 모임에서 들은 설교를 듣다 떠올린 건데, 기독교와 노장사상에서 지향하는 인간상은 비슷한 것 같습니다. 다만 그 근거가 인격이 없는가(도) 있는가(신)에서 차이가 난다고나 할까.
한비자
송지영/홍신문화사


4. 돈
어제는 영화 <시라노; 연애조작단>을 보았습니다. 조금 특이한 부대에 있어서 이런 문화활동을 할 기회가 많아서요. '인생에 한번 정도는 나를 위한 무대에 서고 싶다'는 심리를 이용해 '실제로 그런 일이 가능하다면'이라는 상상을 잘 버무려 냈죠. 물론 들었던 생각은 '역시 의뢰비를 받는군 - 돈 없으면 사랑도 못하는건가'라는 암울한 감정뿐이었지만. 이건 내가 모태솔로여서가 아니야.



5. 일병
일병 단지 2주일 정도 되었습니다. 벌써 상병 달고 싶어지네요 엉엉.

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  1. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    일병되면 상병되고 싶고 상병되면 병장되고 싶지요ㅋㅋㅋ 얼른 나오세요. 제대만이 살길입니다.

    2011.01.11 01:03

근황

Daily lives 2010.12.18 12:43
1.

DOES_NOT_EXIST
http://abstrusegoose.com/328

무언가 점차 사라져가는 느낌. Out of sight, out of mind인가...


2.
부대 독서실에 너부러져 있길레 E.H.Carr의 『역사란 무엇인가』를 읽었다.

역사란 무엇인가
E.H. 카 지음, 김택현 옮김/까치글방

내 취향이 이런 책 좋아하는거라 재미있게 읽었다. 좋아한다고 해서 한번에 정독할 정도는 아니긴 한데(30~40 페이지씩 끊어읽지 않으면 잠든다) 생각해볼 거리는 많이 제공해줘서 좋았다. "역사는 현재와 과거의 끊임없는 대화이다"라는 문장이 널리 알려져 있기는 한데 그 문장은 이 책을 읽지 않고서는 반밖에 이해할 수 없겠다는 생각이 든다.

그리고 이 책을 읽으면서 푸앙카레의 『과학과 가설』을 읽어볼까 하는 생각이 들었었는데, 어째 번역해 놓은 출판사가 없다. 영역본을 구해야 하나...(그것보다 제대로 된 책을 구하기도 힘들어 보인다.) 일단 당분간은 헌책방에서 구해놓은 한비자나 읽어야지...




22:56 추가

3.
이전에 엔트로피라는 물리량이 고전적으로 유도되는 과정을 올렸던 적이 있다. 재미있는 점은 엔트로피라는 물리량이 고전적인 열역학과 현대 통계열역학에서 취급되는 방식이 전혀 다르다는 것. 뉴턴의 시대에는 전혀 중요하지 않았던 중력에 의한 위치에너지의 기준값이 아인슈타인으로 넘어오면서 갑자기 중요성을 얻게 되었는데 비슷한 일이 엔트로피에서도 일어났다. 열역학 제 3법칙(온도가 절대영도에 가까워지면 엔트로피는 최소값-0-으로 수렴한다)이 그 한 예.

그래서 궁금해진 건데, 통계역학에서 엔트로피를 가능한 상태 수의 로그값에 볼츠만 상수를 곱한 것으로 정의하게 된 배경은 무엇일까? 이상기체상태방정식에서 기체상수가 등장하니 그것과 관련이 있지 않을까 추측하기만 할 뿐.

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  1. ㅋ_ㅋ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    힌트를 주자면... 계가 갖고 있는 "정보"라는 것을 잘 정의하기 위한 거임ㅋ

    2010.12.24 03:00
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2011.01.08 13:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      왜 하필이면 볼츠만 상수를 쓰느냐는게 질문의 요지였는데 그건 고전열역학과 방정식을 맞추기 위해 도입한 것인듯 싶네요 -.-

  2. Favicon of http://blog.naver.com/lunefey BlogIcon lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    추운데 고생이 많으시네요. 요새 어떻게 지내시는지 궁금해서 글 남깁니다.

    2011.01.06 20:46


이제 어째서 제 2 법칙이 엔트로피가 생성된다는 법칙으로 이어지는지 살펴보자. 우선 전 글에서 우리가 확인한 두 가지 사항은 다음과 같다.

1. 카르노 기관을 뛰어넘는 효율을 갖는 기관은 없다.

2. 이상적인 과정만 존재하는 경우에는 

\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\textup{ideal}}=0

이 성립하고, 그 값을 엔트로피의 변화량이라 정의할 수 있다.

이제 우리가 증명해야 할 것은 위의 두 가지 중간결론만 가지고 다음 결론을 이끌어내어야 한다는 것이다.

dS\ge\frac{\delta Q}{T}

이 말은 이렇게도 해석할 수 있다.

0=\oint dS\ge\oint\frac{\delta Q}{T} \\0\ge\oint\frac{\delta Q}{T}

이 결론을 확인하기 위해 임의의 실제과정 사이클을 생각하고, 그 사이클에서 흡열과정과 출열과정을 나누어보자. 편의상 흡열과정은 완전히 이상적이지만 출열과정이 실제과정이라고 하자. 그렇다면 열기관의 효율은 이상과정의 효율을 넘을 수 없으므로

\eta_\text{real}=1-\frac{Q_{l_\text{real}}}{Q_h}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_{l_\text{ideal}}}{Q_h} \\\therefore Q_{l_\text{real}}\ge Q_{l_\text{ideal}}

라는 결론을 얻는다. 즉, 출열과정에서는 

\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}

이 성립한다는 것이다.[각주:1] 물론 아래에 T라는 함수가 붙기 때문에 저 적분이 항상 옳은가는 엄밀하게 증명되지 않았다. 하지만 적분경로를 나누어 각각 T가 일정하다고 볼 수 있는 미세한 구간으로 분할하면

\int\delta Q_\text{real/exo}\le\int\delta Q_\text{ideal/exo}\leftrightarrow \frac1T\int\delta Q_\text{real/exo}\le\frac1T\int\delta Q_\text{ideal/exo}\\\leftrightarrow \int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}

이므로, 이 부등식은 어떤 적분경로를 택하더라도 성립한다고 할 수 있다. 비슷한 논의를 이용해 흡열과정에서도 같은 부등호가 성립함을 보일 수 있다.

eq=\eta_\text{real}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}} \\\therefore Q_{h_\text{real}}\le Q_{h_\text{ideal}} \\\therefore\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/endo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/endo}

그러므로 일반적으로

\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}

혹은 어떤 적분경로를 택하더라도 위의 부등식이 성립해야 하기 때문에

\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}

이 성립한다. 맨 처음에 증명하고자 했던 식의 우변은 이상적인 과정과 실제 과정을 전부 포함하므로 이렇게 증명은 완료되었다.

dS\ge\frac{\delta Q}{T}






훈련소에서 없는 기억을 되살려가며 해낸 증명인데[각주:2], 배울 때에는 조금 다르게 배웠었던 것으로 기억한다. 나중에 기회가 되면 다시 찾아봐야지 뭐.
  1. 적분에서는 출열과정의 열이 음수로 계산된다. 효율을 따질 때에는 방출된 열의 절대값만을 따졌으므로 부등호가 반전된다. [본문으로]
  2. 첫 주인 가입교 기간 동안에는 할 일이 없다. [본문으로]

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  1. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    헉 어떻게 컴퓨터를?

    2010.11.27 16:36
  2. ㅠㅠ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수식이 안나오네요

    2011.08.13 20:23

특정 작업을 수행하도록 설계된 쓸데없이 복잡한 기계를 말한다.


대충 이런 것

만화가이자 발명가였던 루브 골드버그(Rube Goldberg)의 이름을 딴 것이라고 한다. 비슷한 아이디어는 엄청 많은지 나라마다 부르는 명칭이 조금씩 다른 모양이다. 뭔지는 알지만 이름만 모르는 간단한 상식을 알고 넘어가자는 의미의 글.

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  1. 책 로스트 이휘소(ㅜㅜ)  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이휘소 박사와 박정희 전 대통령의 관계(이휘소의 한국인 제자였던 강주상이 옳은 점이 있음,책 이휘소평전)


    소립자 물리학계 천재학자 이휘소(박정희 전 대통령이 친서(편지)를 이휘소에게 보냈고 1977년에 일본에서 어머니에게 친서를 주면서 잘 보관하라고 말했으나 분실했고 복사본은 이휘소가 갖고 있다고 어머니에게 말했음)


    1935년 서울에서 태어난 벤자민 리는 경기고 2학년 때 대입검정을 거쳐 서울대 화학공학과에 수석입학. 재학중 미국으로 건너가 1956년 마이애미대학 물리학과를 수석졸업, 1958년 피츠버그대학 석사,


    1960년 펜실베이니아대학 이학박사를 받고, 28세로 이 대학 정교수가 된다. 이후 뉴욕주립대학 교수를 거쳐 시카고대학 이론물리학교수 겸 페르미연구소 이론물리 연구부장 등을 맡는다.


    그는 특히 1960년대 SU(6) 군이론에서 두각을 나타내고 1970년대 쿼크와 참 이론(참 쿼크가 이론적으로 존재하며 참(c) 쿼크의 질량을 계산)으로 명성을 높였으며, 게이지장 이론을 다루면서 이 분야에 독보적인 기여를 한다. 1972년 발표된 게이지장 이론은 그의 가장 훌륭한 공로로 1979년의 노벨물리학상 수상자 살람은 이를 거의 완벽한 이론이라고 극찬한다.


    1974년 9월(약 한 달동안) 이휘소는 미 국무부 요청으로 서울대에 AID교육차관 타당성조사차 20년 만에 귀국한다. 이때 박 대통령은 그를 청와대로 초청, 국가안보위협을 상기시키며 그의 귀국을 요청한다. 핵무기개발에 참여하고 싶지 않던 그는 대통령의 제의를 사양하지만, 강대국 사이에 끼여 이러지도 저러지도 못하는 조국의 신세에 고민하게 된다. 박정희 대통령의 핵무기개발 집념 1977년 3월 이휘소는 다시 박 대통령으로부터 그의 귀국을 간청하는 편지를 받는다. 주한미군 1만7천여명이 철수를 시작했다는 급박한 마음이 담겨져 있었다.


    이휘소는 혼란스러운 마음을 일기에 담는다.
    “조국이 공산화되거나 전쟁소용돌이 속에 처할 위험에 놓여 있다고 가정할 때, 내가 조국을 위하여 할 수 있는 일은 무엇일까? 조국을 지키기 위하여 내가 할 수 있는 핵개발원리를 제공한다면, 나를 낳고 나를 길러준 조국현실을 내가 배반할 수는 없는 것 아닌가? 그것이 나를 죽음으로 몰아넣는 것인지도 모르지만. 죽는다! 내가 죽어 조국을 살릴 수 있다.…하늘이여! 무엇이 참다운 삶이고 내가 지금 어떤 선택을 해야 하는지 가르쳐 주소서.”


    마침내 이휘소는 친분있는 외과의사를 찾아가 미사일·핵무기 제조원리를 따로 정리·축소해 만든 기밀문서를 내민다. 그의 다리 살 속에 소독된 종이가 넣어졌다. 5월 20일 이휘소는 세미나 참석차 도쿄를 방문, 그날밤 비밀리에 청와대에 도착해 대통령에게 이 문서를 전달한다.


    1977년 6월16일, 이휘소는 세미나 참석차 가족과 함께 자가용으로 집을 나섰다. 시내를 벗어나자 트럭 몇 대가 그의 차에 따라붙었다. 일리노이주에 가까운 케와네시 근처(고속도로)에 이르렀을 때, 맞은편에서 오던 대형 유조차가 갑자기 중앙선을 넘어 이휘소와 가족이 탄 차를 정면으로 들이받는다. 차 앞머리가 처참히 부서지고 가족 모두 정신을 잃는다. 가족들은 가벼운 부상을 입었으나 이휘소는 사망하고 만다.


    이휘소가 한국에게 미사일 및 핵 제조원리를 넘겨주고 의문의 죽음을 당한 전후, 미국의 원자력정책은 급전환한다. 카터 미국 대통령은 한국정부에 ‘인권탄압중지, 긴급조치 즉각해제, 독자적 핵개발추진 즉시중지’ 등을 압박한다. 이에 대해 박 대통령은 ‘자기들은 이미 다 만들어놓고 남의 나라에 만들지 못하게 하는 것이니, 패권주의에서나 가능한 발상이다’라고 반발한다. 이런 한미대립은 박정희 대통령에게 미사일·핵개발에 더욱 박차를 가하게 했다.


    1978년 8월 26일 한 군사기지에서 장거리미사일 발사실험이 완벽하게 성공하였다. 사정거리 150km, 유효사거리 350km로 북한 전역은 물론 소련과 중국의 일부까지 미치는 것이었다. 이로써 한국은 세계에서 일곱 번째 미사일 보유국이 되었다. 이제 한국에서 핵무기개발은 시간문제였다. 미국은 보다 강력한 압박을 가하기 시작했다. 그러나 목숨까지 내놓은 이휘소를 생각하면 박 대통령은 더더욱 멈출 수 없었다......


    박정희정부 핵무기개발 추진 결정적 자료 드러나(주간조선 2010년 1월18일(2089호)에서)
    2010년 1월 오원철 경제수석이 1972년 9월 8일 작성한 보고서중 일부가 국가기록원 정보공개를 통해 일반에 공개되었다. 2급비밀문서로 분류된 이 문서들에는 ‘핵무기의 종류 및 우리 개발방향’ ‘우라늄탄두와 플루토늄탄두에 대한 장단점 비교’ 등 개괄내용과 함께 ‘우리나라 기술수준에 맞춰 플루토늄탄을 개발한다’는 잠정결론이 담겨져 있다. 이 문서들은 박정희정부 당시 핵무기개발이 추진됐다는 결정적 근거자료이다.


    그러나 오원철 전 수석은 당시 연구진들이 작성한 핵무기 기술개발 관련 핵심내용이 담긴 보고서가 현재 국가기록원에도 남아있지 않아 실종상태라고 주장했다. 박정희 대통령 서거 이후 청와대의 대통령 개인금고에 보관중이던 핵무기 관련 보안문서 봉투가 외부로 유출됐다는 것이다. 담당자였던 오원철 전 수석은 이 문서를 봉인해 최규하 대통령에게 넘겼고, 이것은 나중에 전두환 신군부에 전달됐다는 것이다......


    소설 무궁화꽃이 피었습니다는 몇 년전에 개정판을 내고 최근에 2010년판(개정판)을 냈는데 소설(작가의 말이 있음)이 맞죠. 참고로 1026이라는 책이 최근에 출판되었죠.
    이휘소 박사는 1978년에 귀국하려는 계획을 세웠다고 우리과학 100년이라는 책과 이휘소 상,중,하(2002년)등등에 나왔죠.(이휘소 하권에 이휘소의 어머니와 저자가 대화하면서 박정희 전 대통령의 편지 얘기) 1977년 6월당시의 조선일보와 중앙일보등에 이휘소 박사의 사망 기사와 조선일보의 1977년 7월5일자에 후속기사(교통사고 경위가 명확하게 조사되지 않은 것에 대해서 국회에서 국회의원이 최형섭 과학기술처장관에게 질의했으나 모른다고 답변)가 나왔죠.


    고 최형섭 박사의 회고록에서도 최형섭 박사가 이휘소 박사로부터 우리나라로 귀국할 것이라는 말을 들었다고 했습니다. 정리할 것(대학교수와 페르미연구소의 이론물리 연구부장을?)이 있어서 아직은 귀국할 때가 아니고 기다려 달라고 말했죠.

    2010.11.17 13:49
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.12.18 11:54 신고  댓글주소  수정/삭제

      좀 찬 물을 끼얹는 발언인 것 같지만, 이론가와 실험가, 그리고 공학자 사이에는 넘기 힘든 간극이 존재합니다. 이론학자인 고 이휘소씨가 공학자의 능력을 가졌다는 이런 주장에는 의문이 들고, 더군다나 국가 기밀사항이란게 그렇게 쉽게 유출될 만한 것은 아닌 것 같네요.

  2. 크리스천의 이름으로  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    골드버그 장치는 피터 보이트의 책 초끈이론의 진실 (not even wrong은 파울리가 엉터리 이론을 말할 때)
    에도 언급되었는데 초끈이론은 틀렸다고 생각합니다. 초대칭성 입자는 존재하지 않으므로 호킹이 틀렸습니다. 호킹은 힉스 입자(힉스 보손)가 존재하지 않는다고 100달러 물리학 내기를 했는데 LHC에서 힉스 입자(h^0)가 검출될 것입니다.


    그리고 블랙홀이 증발한다는 호킹 복사는 틀렸지만 블랙홀은 존재합니다.

    2010.11.17 13:57
  3. Favicon of http://twitter.com/donnie___ BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저분 성함이 Chris Cheon

    2010.12.22 01:00

일단 이 내용은 09년 봄학기 항공역학 기말고사 시험문제였죠. 기초적인 읽을거리 들어갑니다.

철새가 V자 비행을 하는 이유 (창의세상)

한줄로 요약하면 앞에서 나는 새가 상승기류를 만들고, 그 상승기류를 탄 뒤쪽의 새는 편하게 날아간다는 겁니다. 그러면 그 상승기류는 어디서 나오는 것일까요? 다음 비행기 사진을 살펴 보겠습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Airplane_vortex_edit.jpg

Wingtip vortex라 부르는 비행기 날개 끝의 소용돌이입니다. 전투기가 나오는 영화나 애니메이션이라면 항상 등장하는 단골 손님이기도 하구요. 이 소용돌이를 잘 보면 날개 아래 쪽에서 시작해서 밖을 선회하며 날개 위 쪽으로 돈다는 것을 알 수 있습니다. 이 소용돌이가 바로 상승기류의 원인이 되는 것이지요.

Regions of upwash and downwash created by trailing vortices
http://www.aerospaceweb.org/question/nature/q0237.shtml

그렇다면 이 소용돌이가 왜 생기는지 알아야 상승기류에 대해 더 잘 이해할 수 있겠지요. 이 소용돌이는 날기 위해 생기는 어쩔 수 없는 현상입니다. 먼저 비행기가 나는 원리를 생각해 보도록 하겠습니다. 비행기가 나는 원리는 간단합니다. 날개 위 아래로 압력차이를 발생시켜서 날개에 뜨는 힘을 유도하는 것이죠. 압력밥솥 위에 달린 종처럼 생긴 물건이 밥을 할 때 치카치카 거리면서 흔들거리는 이유와도 동일합니다.

http://superhachi.com/theory/airfoils/

이를 위해 비행기 날개의 단면은 위쪽으로 살짝 둥근 형태를 취하게 됩니다. 둥근 모습을 하게 되면 위쪽에 더 빠르게 공기가 흐르게 되는데, 이건 날개가 공기를 위쪽으로 더 많이 밀어내어 그 공기가 뒤로 빠져나가기 위해서는 더 빨리 흘러야 하기 때문입니다. 물이 흘러 나오는 호스의 끝을 쥐어 짜면 물이 엄청나게 세게 튀어나오는데, 그 원리와 비슷합니다.

Watering Plants Fallujah.jpg
http://www.michaeltotten.com/archives/2008/01/a-plan-to-kill.php

그리고 베르누이의 법칙(Bernoulli's Principle)에 따르면 유체는 속도가 빠를수록 낮은 압력을 갖습니다. 같은 밀도라고 하더라도 한 방향으로 흐르면 상대적으로 그 유체의 분자 하나하나가 압력을 전달하는 면에 작용하는 운동량이 적어지기 때문이라고 생각하면 됩니다. 그래서 윗면에는 빠른 공기와 낮은 압력이 분포하게 되고, 아랫면에는 느린 공기와 높은 압력이 분포하게 됩니다. 압력 차가 생겨났기 때문에 비행기는 뜨게 되는 것이지요. 그리고 그 압력 차이 때문에 앞서 나온 소용돌이 또한 발생하게 됩니다.

http://www.thaiflight.com/mach/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=27224&view=next

공기는 높은 압력에서 낮은 압력의 방향으로 흐릅니다. 위 그림을 보시면 비행기의 아래쪽에는 높은 압력이, 위쪽에는 낮은 압력이 형성되었다는 것을 보실 수 있습니다. 공기는 그 압력 분포를 따라 이동하는 것이지요. 그리고 그 이동이 날개 끝에서는 소용돌이가 되어 나타나는 것입니다. 바로 이 소용돌이가 선두를 날아가는 새에게서 상승기류를 얻는 원천이 되는 것이지요.

하지만 그렇다고 해서 선두의 새는 손해만 보는 것은 아닙니다. 선두의 양 옆을 날아가는 새들은 선두를 나는 새에게 날개가 더 커지는 효과를 부여합니다. 선두의 새가 느끼는 소용돌이가 감소하게 되는 것이지요. 소용돌이는 진공을 가져오고 진공은 비행시 저항으로 작용하기 때문에 V자 대열은 선두의 새에게도 이득이 되는 셈입니다.

이것으로 글을 마치도록 하겠습니다. 마무리는 역시 멋진 비행기 사진으로... 태양을 날다!!

http://www.flickr.com/photos/avi_abrams/536403230/sizes/o/

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근황

Daily lives 2010.10.22 18:34
11월 1일까지 두 편의 글이 예약되어 있다. 물론 글 하나에서 둘 정도는 더 쓸 생각이고, 그러면 11월 중순이나 말까지는 계속 블로그에 글이 올라오게 되겠지.

아는 사람은 알겠지만 지금은 고여있는 물이 되었다. 정체된 사람이 쓸 수 있는 글은 멈춰있는 글 밖에 없겠지. 그래서 글을 쓰는 것을 잠시 그만둘까 생각중이다. 물이 다시 흐를때까지. 물론 틈틈히 Kronig-Penney model을 기억에만 의존해서 풀어보고 Born approximation을 다시 유도해보고 있기는 한데(Green function을 잘못 떠올려서 실패했지만)[각주:1] 그런다고 해서 고여있는 물이 흐르는 물이 될까? 계속 꿈틀대기는 하겠지만 아직 다시 흐르기 위해서는 좀 더 기다려야 할 것 같다. 그러면 다시 흐를 때까지 안녕.

옛적에 누군가가 그랬다. 끝은 새로운 시작이라고. 졸업식에나 어울리는 고리타분한 구이지만, 그래도 그나마 어울리는 말이려나.


덧. 외박 나오자 마자 그리피스 양자책부터 다시 확인하는 나를 보니 다시 흐를 수 있으리라는 희망이 살짝 생긴다.
  1. 이런 것까지 아득바득 기억하고 있는 내가 신기할 때가 있다. [본문으로]

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  1. BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    산은 산이요 물은 물이로다~

    오랜만에 들러보았는데 바삐 지내시는 거 같아 (보기 좋습니다x 기쁘네요x 다행이네요x 뭔가 적절한 표현이 떠오르지 않는...) 보이시네요.

    외박과 고인물이라는 걸 봐선 입대를 하신 거 같기도 하고.

    전 뭐뭐 거 같기도 라는 표현을 너무 많이 쓰는 거 같기도 하고.

    2010.12.09 23:32

미학 오디세이 3권 세트 - 10점
진중권 지음/휴머니스트

아름다움을 느낀다는 것은 어떻게 보면 즐거움과 함께 인간의 본질과 가장 맞닿아있는 감정이다. 사실 아름다움에서 즐거움이 나오고, 즐거움에서 아름다움이 파생되어 사실상 둘을 면도날로 자르듯 구분한다는 것은 불가능하기는 하지만 말이다. 그래서 나는 이렇게 생각한다. 우리가 아는 모든 세상은 자신이 느끼는 아름다움을 남들에게 이야기하고 싶은 욕망에서 나온 것이라고 말이다. 철학자들은 이성(理性)에서, 신학자들은 신성(神聖)에서, 과학자들은 자연에서 아름다움을 느꼈고, 그것을 각자의 언어, 그러니까 논리, 성서, 수학으로 표현했을 뿐이라고.

이 사람들은 단지 다른 미적 감각을 가졌을 뿐이다.

그렇기 때문에 미학의 논의의 상당수가 철학과 겹치는 것이 아닐까 하고 생각한다. 아름다움을 느끼는 것은 정신활동이고, 이성은 정신활동의 정수처럼 여겨지지 않던가? 더군다나 수많은 동기가 이 아름다움을 느끼는 것, 즉 미각(美覺)에서 출발했다면 인간의 정신에 매력을 느끼던 사람들이 놓기 힘든 주제였을 것이다. 그런 점에서 미학은 인간의 본질을 탐구하는 활동이라고 할 수 있지 않을까?

인간의 본질을 탐구하는 활동에 대한 교양서 중에서 단연 사람들의 입에 가장 많이 오르내리는 책을 꼽으라면 진중권씨의 『미학 오디세이』시리즈이다. 그래서 읽게 되었다. 책을 사다가 5만원을 채우면 마일리지 2000점을 더 준다는 알라딘의 유혹(?) 때문에 그런 점도 있지만, 나온지 10년이 거의 넘어가는데도 아직도 사람들 입에 오르내린다는 점이 눈을 끌었던 것 같다.

미학 오디세이 1
진중권 지음/휴머니스트

1권은 에셔(Escher)의 일러스트가 주로 나온다. 들어 본 사람만 많고 정작 읽은 사람은 적다는 『괴델, 에셔, 바흐』의 에셔 말이다. 내가 처음으로 에셔의 작품을 보았던 것은 일본에 갔을 때 둘러보다가 들렀던 어떤 박물관(미술관이었는지도 모른다)에서였다. 다른 사람들의 눈에는 잠깐 그 앞에 서서 서너 초 정도 뚫어져라 응시하다가 발길을 돌리는 자그마한 소년이 보였을테지만, 나에게는 영화 「컨택트(Contact)」에서의 시공간의 벽을 넘나드는 찰나의 여행이었다. 때문에 그 곳 기념품점에서 팔고있는 자그마한 저금통-들어간 동전이 쌀알보다도 작아지거나 작은 상자만이 떠 있는 공간 속으로 동전이 감쪽같이 사라지는 것들-을 한참 만지작거리다가 나왔던 기억이 난다.


이런 애들 말이다. 내 기억으로는 동전도 엄청 작아졌었는데 다른 비슷한 건가?

1권과 동시대에 나온 책이 2권이다. 2권은 마그리트의 그림들을 다루고 있다.

미학 오디세이 2
진중권 지음/휴머니스트

에셔의 작품들처럼 마그리트의 작품들도 말이 안 되는 것들에 초점을 맞추고 있다. 마그리트의 작품들 중에는 딱히 기억에 남는 것은 없지만, 그래도 하나를 꼽아야 한다면 이전 글에서 잠시 끌어왔던 이 그림이다. 허공에 떠 있는 성, 어디에서 많이 본 판타지적 요소 아닌가?



제 3권은 앞의 두 권과는 거의 10년에 가까운 시간적 간극이 있기 때문에 앞서 소개한 두 권의 책과는 살짝 다른 분위기가 함께하고 있어 천천히 다루기로 하고, 위 두 권을 독자의 관점에서 평가한다면 말 하나는 잘 해서 안티와 팬 모두를 끌고다니는 진중권씨의 말빨이 그대로 녹아나 있는 괜찮은 책이라고 하겠다. 책이라는 것이 대화를 기록하기 위한 것이었던 전통을[각주:1] 그대로 따와 플라톤과 아리스토텔레스를 서로 대화시키는 구성을 넣은 것은 분명히 오래된 기법이지만 그 전통이 거의 사라지다시피 한 현대를 사는 나에게는 신선하게 느껴졌다. 아름다움과 같이 보편적이면서도 난해한 대상을 이해할 때에는 직접 남과 토론하면서 배우는 것이 효과적인 학습법이라는 것을 떠올려보면 산문과 대화를 적절히 배합한 책의 구성이 얼마나 절묘한지 놀라게 된다.

트로이
아델 게라 지음, 강경화 옮김/열림원
조금은 상관없지만, 대화로만 구성된 현대 책 중 하나. 참고하시길...

앞서 말했듯이 3권의 분위기는 그 전의 두 권과는 조금 다르다. 아무래도 작가가 강산이 변하는 시간만큼 머리가 굵어진 것도 있겠지만 그보다도 다룬 주제 자체가 분위기의 변화를 유도할 수 밖에 없었다고 보아야 할 것이다. 이전에 날 가르치셨던 은사분들 중에는 이른바 '시계추 이론'이라는 것을 주장하시는 분이 있었는데,[각주:2] 그 주된 내용은 모든 것이든 시계추처럼 한 쪽으로 기울었다가 그 반대로 기울게 되고, 다시 기울어진 쪽에서 원래 위치로 다시 기우는 주기적인 행동을 무한히 반복한다는 것이다. 서양 문화의 분위기가 인간 중심에서 신 중심으로, 신 중심에서 다시 인간 중심으로, 이런 식으로 계속 진동한다는 것을 가장 큰 근거로 내세우셨던 기억이 나는데 돌이켜보면 어떤 철학자가 주장한 내용을 그대로 가져다 쓴 것은 아닐까 하는 생각이 들기도 한다. 여튼, 공비가 -1인 기하급수처럼 끝없이 진동하는 역사 속에서 그 끝은 어디에 있을까? 0? 1? 아니면 다음의 식에서 r에 -1을 넣으면 얻는 값처럼 이도 저도 아닌 ½?

1 \,+\, r \,+\, r^2 \,+\, r^3 \,+\, \cdots 
\;=\; \frac{1}{1-r},
'기하급수적으로'라는 단어가 이 수열에서 나왔다.[각주:3]

가는 길에 대한 확신이 없다면 발걸음이 무거울 수 밖에 없다. 철학이 이리 저리 시계추처럼 진동하다가 결국에는 끝나지 않은 기하급수처럼 어디로 가야 할 지 방향을 잃어버린 현대-이른바 포스트모더니즘(postmodernism)의 시대-의 미학 또한 차가운 겨울 밤을 지낼 피난처를 찾지 못한 길거리의 나그네의 발걸음처럼 무겁다. 그렇기 때문에 그랬던 것일까? 필자가 3권을 읽으며 느낀 첫 느낌은 '억지로 분위기에서 무게를 덜어내려 한다'는 것이었다.

미학 오디세이 3
진중권 지음/휴머니스트

책에서 가장 기억에 남는 문구는 내용과는 전혀 상관없는 '내가 앞으로 쓰지 않을 소설' 이었다. 한편으로는 적절한 소설을 찾아 헤매기 귀찮아하는(?) 저자의 게으름으로 보이기도 하지만 나에게는 게으름보다는 꽤 무겁게 흘러가는 현대철학과 그 무거운 발걸음을 조금이나마 가볍게 해주기 위한 장치라고 느껴졌다. 그 시도가 성공적이었다고 평가하기는 힘들지만 그래도 책을 읽으며 굳어있었던 얼굴에 피식하며 스쳐 지나가는 미소를 안겨주는 효과는 있었다.



맑은 달밤에 베란다에 홀로 앉아 달과 함께 맥주캔을 홀짝이던 그대. 무엇이 그대를 베란다로 끌고 왔는지 궁금하지는 않던가? 오늘 한번 무엇이 그대를 불러냈는지 알아보는 것은 어떨까?

미학 오디세이 3권 세트 - 10점
진중권 지음/휴머니스트

미학 오디세이 1
진중권 지음/휴머니스트

미학 오디세이 2
진중권 지음/휴머니스트

미학 오디세이 3
진중권 지음/휴머니스트
  1. 플라톤의 책은 두 사람이 서로 대화하는 구조로 이루어진 것들이 많다. 가까운 근대에서 찾는다면 갈릴레오의 책이 이런 방식으로 쓰여졌다. 가까운 지역에서 찾는다면 공자의 論語가 딱 이런 구성이다. [본문으로]
  2. 이상하게도 이 분처럼 조금은 독특한 세계관을 가지고 강의하시는 분들은 아이들이 별로 좋아하지 않았던 기억이 난다. 아니면 내가 아이들이 좋아하지 않았던 선생님이 엄한 분위기를 가지고 계셔서 그때에만 주의를 집중했을 수도 있고. [본문으로]
  3. 파인만(R. Feynman)씨는 이 단어의 상위 개념에 해당하는 '천문학적'이라는 단어 대신 '경제학적'이라는 단어를 써야 한다고 했다. 인플레이션을 생각해보면 경제학적 숫자가 무한대를 상징하게 될 날이 멀지 않았을지도. [본문으로]

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란체스터 법칙

Knowl 2010.09.30 12:00
스타를 하다 보면 병력을 나누어서 싸우지 말고 뭉쳐서 싸우라고 한다. 이른바 '뭉치면 살고 흩어지면 죽는다'인데, 이것을 직접 수학적으로 풀어낸 것이 란체스터 법칙이다.

전설의 명작인 스타크래프트를 가지고 생각해보자. 이쪽에 마린이 10기 있고 저쪽에 마린이 8기 있다. 병력의 수는 2기밖에 차이가 안 나지만, 실제로 싸워보면 10기가 있는 쪽이 대부분 서너기 쯤 남기고 이기는 경우가 많다.[각주:1] 란체스터 법칙에 따르면, 실제 전력은 그 숫자의 제곱에 비례한다고 한다. 따라서 전력의 비는 100:64이고, 때문에 2기보다 많은 수의 마린이 살아남는 것이다.

이건 이렇게 설명할 수 있다. 각 마린의 공격력을 1이라고 볼 때, 8기 쪽에서 공격을 하면 총 공격력의 합은 8이 된다. 그런데 그 공격을 10기가 나누어 받으므로, 실제 공격은 0.8이 된다. 역으로 10기 쪽에서 공격을 하면 총 공격력의 합이 10이고, 8기가 나누어 받기 때문에 실제 공격은 1.25가 된다. 이 둘 사이의 비는 64:100이다. 란체스터 법칙은 이렇게 적용되는 것이다.

일점사의 효과도 비슷하게 생각해볼 수 있다. 10기를 4기, 3기, 3기로 나누어 각개격파하는 경우를 생각해보자. 첫 전투에서 전력비는 16:64=1:4이다. 그러므로 8기중 두기를 잃었다고 생각하면 6기가 된다. 다음 전투에서 전력비는 9:36=1:4이다. 다시 1/4를 잃는다면 4.5기인데, 같은 방식으로 다음 전투의 전력비를 계산하면 9:20, 그러니까 약 두기 정도 남고 이기게 된다. 여기서 훨씬 적은 수의 병력으로도 컴퓨터의 병력을 농락하는 것이 어떻게 가능한지를 알 수 있다. 컴퓨터는 각개격파를 하지 않기 때문이다.

가끔 란체스터 법칙을 경영논리로 확장하는 경우가 있는데,[각주:2] 많은 예시가 이미 인터넷에 존재하므로 여기서는 따로 다루지는 않겠다.
  1. 양쪽 다 업그레이드가 없다고 가정할 경우 [본문으로]
  2. 어떻게 대그룹이 진출한 시장을 중소기업이 장악하고 있는가 등. 예전의 MP3P 시장이 그랬다. 삼성이라는 초거대기업이 진입했어도 당시 중소기업이었던 iRiver가 시장을 장악했던 것. 물론 지금은 iRiver도 상당히 큰 기업이지만. [본문으로]

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아.. 이름도 붙어있었네요..

    2010.09.30 12:18 신고

Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

\dot{x_i}=\frac{p_i-qA_i}m \\\therefore H=\sum_i\frac1{2m}(p_i-qA_i)^2+q\varphi

이제 Schrodinger equation으로 자기력을 다룰 때 어째서 괴상한 방식으로 자기포텐셜이 도입되었는지 그 유래가 조금은 보일 것이다. 이제 Schrodinger 방정식을 풀어보자. 일반적으로 이 방정식을 풀 때 상태함수는 위치좌표를 기저로 쓰므로 운동량을 적당히 바꾸어 넣는다.

H=\frac1{2m}(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)\cdot(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)+q\varphi

우변의 첫 항이 사실 좀 많이 거슬린다. 계산이 너무 귀찮게 생겼다. 그런데 운동량과 자기포텐셜이 뒤섞여 있는 저 항은 잘 하면 계산하기 쉽게 바꿀 수 있을 것도 같다. 먼저 위의 Hamiltonian을 다시 써보자.

H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi

다음 방정식은 쉽게 보일 수 있다. 이 녀석을 응용할 수 있지 않을까? (F는 f의 역도함수)

\left(\frac{d}{dx}-f(x)\right)g(x)~e^{F(x)}=g'(x)~e^{F(x)}

일단 입자가 a에서 b까지 1차원 경로로 이동하는 경우는 다음과 같이 쓰면 쉽게 정리할 수 있다.

\Psi(x,t)=\Psi_0(x,t)\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

적분이 아직 난감하다고 해도, 미분은 엄청 간편해졌다.

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi\right]\Psi \\=\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0 \\=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\Psi_0\right)

특히, A가 시간과 무관한 경우라면 계산이 엄청나게 간단해진다.

i\hbar\frac{\partial\Psi_0}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0

이제 처음에 등장한 식이 어떻게 얻어졌는지 조금은 보일 것이다.
  1. 실제 확률은 절대값의 제곱을 취하지만, 여기서는 간단히 두 상태의 내적으로 취급하자. [본문으로]

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  1. ㅋ_ㅋ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    berry's phase네
    물론 엄청 간단한 경우지만

    2010.12.24 03:04

Conway's Game of Life라는 글에 올린 코드를 실행시켜보면 파일 경로를 입력하라는 창이 뜬다. 물론 파일 경로에 빈칸(space)이 들어가도 되도록 만들었다.[각주:1] scanf로는(%s를 이용한 경우) 빈칸이 포함된 string을 읽지 못하기 때문에 다른 함수를 이용해야 한다. 링크된 글의 코드에서 빈칸이 포함된 string을 읽는 함수만 가져왔다.

int locate(char loc[])
{
    int i;
    printf("File location(length at most %d):\n", maxpath);
    while(1)//loop until input is proper
    {
        for(i=0;i<=maxpath;i++) loc[i]=0;//initialize string
        gets(loc);
        if(loc[0]) break;
    }
    if(loc[maxpath]!=0) {printf("Path is too long.\n"); return 0;}
    return 1;
}

main함수에서 이 함수에 집어넣을 array의 크기를 char location[maxpath+1]으로 선언했기 때문에 에러가 나지는 않는다. 다음은 main함수의 첫 부분.

int main()//main function
{
    int i,time;
    char a[scale*scale]={},loc[maxpath+1]={}, cell[2];

...


조금 생소한(?) gets라는 함수가 하나 보이는데 이 녀석은 return(new line)이 나타날 때까지 글자를 전부 읽고 string에 저장하는 역할을 한다. 문제는 gets가 쓰이기 전에 scanf가 쓰였을 경우이다. scanf는 new line이 있으면 그 전까지만 읽기 때문이다. 아직 new line이 메모리에 남아있기 때문에 gets 함수는 newline을 읽는다. 의도치 않게 자동으로(?) 입력되어 버리는 것이다. 그걸 막기 위해서 loop를 이용했다.

이렇게 input이 꼬인다는 것도 문제이기는 하지만, 사실 가장 큰 문제는 구해 놓은 메모리보다 더 큰 정보를 저장할 때 생긴다. gets 함수를 쓰면 프로그램이 지정해놓은 공간 '밖에도' 저장이 되기 때문에 엉뚱한 정보가 날아갈 위험이 있는 것이다. 때문에 보통은 fgets 함수를 쓰는 것이 더 안전하다고 한다. 알아서 응용해 보시길 ㅇ-ㅇ
  1. "C:my documents and settingsmy documentsabc.txt" 와 같은 string을 사용자가 입력하도록 만들었다. [본문으로]

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2009/04/24 - 어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기

위 글에서 내가 한 가정들 중에서는 엄밀하지 못한 가정이 하나 숨어있다. 원글에서도 밝혔지만 엔트로피에 대한 가정 말이다.

3. 엔트로피의 특징
엔트로피는 용매 자체가 가진 엔트로피(S_1)와 용질 자체가 가진 엔트로피(S_0)와 용매가 존재함으로서 생겨나는 엔트로피(S_p)의 합으로 생각한다. 이 때, 용질의 존재가 만들어내는 추가적인 엔트로피는 다음과 같이 가정한다.
 S_{p}=k\ln\Omega'\\\Omega'{=}\text{C}({N_1+N_s},{N_s})

여기서 C는 Combination 함수를 말한다.
 \text{C}(n,k)\equiv\frac{n!}{k!(n-k)!}

기존 엔트로피(그러니까, S_0S_1)에 대한 가정은 문제가 없다. 엔트로피를 로그함수로 정의한 이유가 이렇게 증가하는 복잡도를 단순한 덧셈으로 나타내고 싶었기 때문이다. 문제는 섞였을 때 만들어지는 엔트로피이다. 공간을 무작위로 나돌아다니는 분자들인데 어떻게 그 분자들의 복잡도가 단순한 조합(combination)함수로 나타내질 수 있느냐는 것이다.

결론은 의외로 간단하다. 어차피 통계역학은 그 기본 가정이 불연속성이므로 공간마저도 불연속적인 격자(grid)로 가정할 수 있다. 이제 한 격자의 크기를 한 분자가 겨우 들어갈 정도로 작게 잡고, 그 격자를 한줄로 쭉 늘어놓는다. 집합론에서 무한집합에 대해 \aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0를 증명하는 것과 비슷한 방식을 사용하면 된다. 이렇게 격자를 한줄로 쭉 늘어놓으면 N_1%2BN_s개의 빈 상자에 N_s개의 용질 분자를 집어넣고 나머지를 용매 분자로 채우는 문제와 동일한 문제가 된다. 따라서 매우 간단해 보이는 조합함수이지만 상대적으로 정확한 엔트로피를 구할 수 있는 것이다.

물론 여기에는 용액이 액체이기 때문에 빈 격자가 없다는 가정이 포함된다. 빈 격자도 있으면 빈 격자도 계산에 넣어야 하기 때문이다. 따라서 구한 상수를 구하는 식은 초유체나 기체 용액에 적용하기에는 무리가 있다.

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Feynman Lectures 3권의 21-6 소챕터는 The Meissner effect라는 제목을 가지고 있다. 마이즈너 효과라고 초전도체가 모든 자기장을 외부로 밀어내는(?) 현상을 말하는 것인데, 자기부상열차에 응용하려는 움직임도 있다. 하지만 이 챕터를 내가 끌어오는 것은 중간에 잘못된 설명이 있어서이다.

[...] Now the only way that \nabla^2\theta can be zero everywhere inside the lump of metal is for \theta to be a constant. [...]
-Feynman Lectures III, 21-9

어느 스칼라 함수의 라플라시안(Laplacian)이 항등적으로 0일 조건은 그 스칼라 함수가 상수일 때가 아니다. 먼저 가장 간단한 반례.

f(x,y)=e^y\cos x\\\nabla^2f=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f=0

물론 라플라시안이 0인 스칼라 함수는 이것 말고도 엄청나게 많다. 만약 위에서 사용된 금속 덩어리가 원통형이라면 다음과 같은 분포도 라플라시안이 0이 됨을 보일 수 있다. 보이는 계산은 다소 복잡하지만 말이다.

\theta(\rho,\phi,z)= J_1(\rho)\cos\phi\cosh z

J_1은 1종 베셀함수(Bessel function)에서 1차(order 1)인 경우이다. 수많은 공대생의 적 베셀함수가 등장하기는 했지만 용서하시길.(...) 그리고 위의 식은 원점 부근에서 발산하지 않기 때문에 충분히 사용 가능하다. 그렇다면 어째서 파인만이 저런 말을 한 것일까? 사실, 완전히 틀린 말은 아니다. 경계조건을 상수로 주면 라플라시안이 0이 되는 방법은 스칼라 함수가 상수인 경우밖에 없기 때문이다. 이 수학적인 특징은 정전기학(electrostatics)에서 정전차폐를 설명하는 근거가 된다.


정전차폐를 제대로 이용해먹는 사례

그렇다면 여기서 증명되어야 할 것은, 경계조건을 상수로 두어도 좋다는 주장이다. \theta는 상태함수의 위상이라 그 절대적인 값은 의미가 없어 임의의 지점에 임의의 값을 대응시켜 주는 것은 자유롭지만 문제는 그 자유도는 한 점에 국한된다는 것이다. 다시 한번 말하면, 금속 표면의 한 점에서 위상을 0으로 주었다고 금속 표면 전체의 위상이 0이라는 근거는 없다. 나는 파인만씨가 다음 식(21.19)만 만족하면 되기에 게이지 자유도(gauge freedom)를 이용해 \theta를 벡터포텐셜 A로 흡수시켰다고 추측할 뿐이다.

mv=\hbar\nabla\theta-q\bold A~~~~~~~~\text{(21.19)}

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    파인만 읽다가 내공이 부족하여 때려 쳤는데 언제쯤 다시 봐야 될까요..

    2010.08.22 00:40 신고

찰리의 초콜릿 공장이라는 동화가 있다. 겸손함을 칭송하고 예의없는 태도에는 가차없이 철퇴를 내려찍는 보수주의의 정수를 모아놓은 동화인데, 이름있는 배우 조니 뎁이 출연한 영화로도 만들어졌다. 이 영화의 도입부에는 찰리의 아버지가 치약 공장에서 치약에 뚜껑을 끼우는 일을 하다가 그 일을 대신할 기계가 들어오는 바람에 짤리는 장면이 나온다. 비록 영화는 마지막에 아버지가 그 기계의 정비를 맡는 정비사가 되는 해피엔딩으로 끝나지만, 현실에서도 해피엔딩을 찾을 수 있을까?

기술은 발전한다. 기술의 발전은 생산성의 증가를 낳기도 하지만, 애꿎은 곳에서 말썽을 일으키기도 한다. 프레온 가스와 피부병의 관계도 하나의 예이지만, 사람들이 좀 더 직접적으로 느꼈던 말썽은 꽤 극단적인 상황으로 발전하기도 했다. 중학교 세계사 시간에 졸지 않았다면 18세기 영국에서 산업혁명이란게 일어난 이후 19세기 초에 러다이트(Luddite) 운동을 알 것이다. 기계 파괴 운동 말이다. 현실은 영화에서처럼 해피엔딩이 아니라, 뚜껑을 끼우던 사람들이 일자리를 잃자 기계를 부수러 공장에 무기를 들고 입성하는 형태로 진행되었다.

주변을 잘 살펴보면 사람이 하던 일을 많은 부분을 기계가 대체하고 있다는 것이 눈에 금방 보인다. 지금 이 글을 쓰면서 내 옆에서 시끄럽게 돌아가는 세탁기는 원래 내가 강가에 앉아 손으로 빨랫감을 내려쳐야 하는 수고를 약간의 수도세와 전기세로 전담해주고 있다. 랩탑에서 흘러나오는 노래는 원래 누군가가 옆에서 악기를 들고 딩가딩가 하고 있었어야 했던, 엄연한 노동이다. 이것 뿐이던가? 식기세척기는 어머니가 식사 후 투덜대며 하시던 일을 대신하고 있고, 공장에서 차 철판 사이사이에 용접하는 일도 원래는 기술자가 하던 일이다. 기계가 도입되기 전에 만들어진 치약들의 그 많은 뚜껑들은 누가 다 끼웠을까?

물론 사람만 할 수 있는 일도 존재하기는 한다. 하지만 그런 일을 하는 사람은 그리 많이 필요하지 않다. 소설가만 사는 나라는 없지 않던가? 인간만이 할 수 있는 일이라는 다소 우울한 질문은 옆으로 치워두고, 지금처럼 기술의 발전이 급격하게 진행될 때의 문제를 생각해보자. 이전에도 한 번 간단하게 글을 썼던 기억이 있는 것 같은데, 첨단 기술이 세계의 지평을 넓힐수록 '그 기술의 혜택을 받을 수 없는 사람들' 혹은 '그 기술로 쫓겨나게 된 사람들'은 더욱 시달리게 된다. 더 큰 문제는 이런 시달림이 대를 이어 유전된다는 것이다. 영화 아이로봇을 생각해보자. 길거리를 쓰는 청소부들 중 사람은 없었고, 집에 로봇 한 대 없는 사람 또한 없었다. 그렇다면 처음 로봇이 공급되기 시작했을 때 길거리를 청소하던 사람들은 어디로 가야 했을까? 또, 저 시대에 로봇을 살 돈이 없어 집안 일을 전부 자기가 도맡아 해야 하는 사람들은 어디서 무얼 하고 있을까? 그리고 그 사람들의 아들딸들은 그런 생활에서 벗어날 수 있었을까?

비슷한 문제의식에서 시작된 프로젝트가 이미 존재한다. OLPC(One Laptop Per Child)라고 해서 극빈국의 아이들을 대상으로 컴퓨터 한 대씩 지급하자는 운동인데, 지금도 하고 있는지는 모르겠다. 하지만 그 프로젝트는 언제까지나 가난의 사슬을 끊자는 것이 목표이지 가난한 사람을 다시 일으켜 세워주는 것은 아니다. 아이는 미래의 씨앗이지만, 어른은 현재이다. 미래의 씨앗은 언제나 현재라는 토대에 심을 수 밖에 없다. 그렇기에 미래를 생각하는 만큼 현재에도 관심을 보여야 한다.

물론 기술이 인간을 밀어내는 만큼 기술은 인간을 필요로 하는 자리를 만들어낼 것이다. 하지만 기술이 만들어낸 자리는 기술이 밀어낸 자리와 다를 수 밖에 없다. 아무리 손가락 봉합을 잘 하는 의사라고 하더라도 녹내장 수술을 바로 잘 할 수는 없는 법이다. 이런 차이를 메꾸기 위해 필요한 것이 재교육이고, 재교육은 개인 수준에서보다는 국가 단위에서 실행되어야 한다. 돈을 잘 버는 직업은 대부분 그 전문성 때문에 대체할 사람을 찾을 수 없는 경우가 많다. 기계들에게 밀려난 자리가 부유한 직업일 가능성보다는 가난한 직업일 가능성이 상대적으로 높은 것이다. 하지만 과연 대한민국이 이럴 의지가 있는지는 의문이다.

누가 무어라고 하던, 기술은 계속 발전할 것이다. 그리고 기술이 발전하며 가축이 설 자리가 좁아진 것처럼 인간이 설 자리는 좁아질 것이고, 설 자리가 사라진 사람들이 계속 생겨나게 될 것이다. 우리는 이런 미래를 똑바로 쳐다보고 있는 것일까? 얼마 전에 보았던 '재정파탄을 방지하기 위해서는 과도한 복지예산을 줄여야 한다'는 신문기사가 떠오르면서 가슴이 먹먹해진다.

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음.. 참 어렵습니다.. 기술하나 개발할때마다 몇십년 뒷일까지 다 생각할 수도 없는일이고...

    2010.08.14 17:42 신고
  2. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    과학적 사고는 기계가 영원히 침범할 수 없는 영역일테지만, 저보다 적분을 잘하는 계산기를 보면 무섭기도 하군요..

    2010.08.16 01:04

2008/12/21 - 제레미 리프킨, 엔트로피

무질서도로 번역되는 엔트로피(Entropy)란 개념은 열역학 제 2법칙과 밀접한 관계를 갖습니다. 제 2법칙이 엔트로피 증가의 법칙으로 통용되는 것만 보아도 그것을 쉽게 알 수 있겠지요.

엔트로피에 대한 접근은 크게 두가지로 볼 수 있습니다.(정보 이론에서도 다룬다고 하는데 이건 무시.. 세스 로이드의 『프로그래밍 유니버스』란 책에서 간략하게 다루고 있는데 그걸 참고하셔도 좋을 듯 합니다.) 하나는 완전한 고전역학적인 접근이고 다른 하나는 완전한 통계역학적인 접근입니다. 고전역학적인 접근은 우리가 어느 물체에 대해 평균적인 값으로 측정하는 물리량(압력이나 부피, 밀도 등)을 기반으로 엔트로피를 정립해 나가는 것이고 통계역학적인 접근은 분자들의 상태의 수를 이용해서 엔트로피를 정립해 나가는 방식입니다. 보통은 통계역학적인 접근, 혹은 미시적인 접근을 주로 사용하지만 좀 독특한(일반적인 접근인 미시적인 접근과는 반대되는 접근이라는 점에서) 접근방식인 고전역학적인 접근을 써 보려고 합니다.[각주:1]

먼저 카르노 기관(순환Cycle)을 짚고 넘어가야 합니다. 카르노 기관은 엔트로피라는 개념이 정립되기 전부터 등장해서 엔트로피를 고전적으로 정의하는데 커다란 버팀목이 되었던 가상적인 엔진입니다. 이 엔진의 특징은 '모든 과정이 역으로 진행 가능하다'입니다.

카르노 기관(Carnot engine/cycle)

모든 과정이 역행 가능한 기관. 네 단계로 구성된다.

1. 등온팽창. 엔진과 같은 온도를 가진 열 공급원에서 에너지를 흡수한다. 같은 온도를 갖기 때문에 이 과정은 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
2. 단열팽창. 엔진은 외부와 열 교환을 할 수 없다. 이때 팽창은 준정적Quasi-static으로 일어난다. 준정적이란 말은 평형상태와 유사하게라는 뜻으로, 이 경우에는 기체(또는 유체working fluid)의 팽창이 내부의 압력과 외부의 압력이 동일한 상태에서 일어나는 것이다. 이렇게 준정적인 과정으로 기체가 팽창할 경우 과정은 역으로 진행될 수 있다.
3. 등온압축. 엔진과 같은 온도를 가진 열 흡수원에 에너지를 방출한다. 등온팽창과 마찬가지의 이유로 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
4. 단열압축. 단열팽창과 마찬가지로 열 교환을 할 수 없으며, 마찬가지의 조건과 이유로 과정은 역으로 진행할 수 있다.

그리고 열역학 제 2법칙의 공리가 등장합니다. 두 가지 공리가 있습니다.[각주:2]

Clausius Statement
열은 자연적으로 저온부에서 고온부로 전달될 수 없다.[각주:3]

Kelvin-Plank Statement
단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 것은 불가능하다.

살펴보겠지만, 두 공리는 서로 동등한 관계를 지닙니다. 둘 중 하나만 부정되어도 다른 하나마저 부정되어야 하지요. 먼저 첫 서술을 부정해 보겠습니다. 열이 자동적으로 저온에서 고온으로 이동하는 겁니다. 그러면 어떤 순환이 두 열원 사이에서 작동하면서 저온부에 버리는 열이 고온으로 이동하면 외부에서 보기에는 고온에서 얻은 열을 전부 일로 바꾼 것으로 보이게 됩니다. 둘 째 서술이 부정되는 것이지요.

둘 째 서술을 부정해 볼까요? 단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 기관을 냉동기에 연결합니다. 그러면 저온부에서 고온부로 스스로 이동하는 현상이 일어나게 됩니다. 첫 서술이 부정되는 겁니다. 결국 서로 동치라고 볼 수 있겠지요.

뭐 어찌되었든, 이를 이용하면 카르노 기관이 최고의 효율을 가진 기관이라는 것을 보일 수 있습니다. 카르노 기관은 기본적으로 외부에 영향을 미치지 않는 기관입니다. 모든 과정을 그대로 역으로 진행할 수 있기 때문이지요. 하지만 이 기관보다 효율이 좋은 기관을 도입한다면? 이런 이상적인 기관에서 일을 얻어서 카르노 기관을 역으로 진행시키는 데 사용한다면 열이 역류하는 현상이 일어납니다. 이는 Clausius의 서술에 위배되기 때문에 결국 그런 기관은 존재할 수 없다는 것이지요.

그리고 동일한 열원 사이에서 작동하는 카르노 기관들은 전부 같은 효율을 지닙니다. 하나가 다른 하나보다 더 효율이 좋으면, 하나를 냉동기로 사용하고 하나를 냉동기를 작동시키는 엔진으로 사용하면 열이 역류하는 현상을 볼 수 있겠지요. 이 역시 Clausius의 서술과 반대되기 때문에 존재할 수 없습니다.

그러면 같은 열원이란 무엇일까요? 동일한 온도를 가진 열원을 같은 열원이라고 말합니다. 그리고 카르노 기관의 효율은 그 기관이 작동하는 두 열원의 온도의 함수로 주어집니다. 이는 고온부와 저온부 그리고 그 사이에 중간단계의 열원이 존재함을 가정하고 고온부와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나, 고온부와 중간단계 사이에서 작용하는 기관 하나, 중간단계와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나를 놓은 다음 고온부에서 바로 저온부로 연결된 기관과 중간단계를 걸처 작동하는 기관 둘의 합이 같은 효율을 가져야 한다는 것을 이용해서 보일 수 있습니다.[각주:4] 고온부의 온도를 t_h, 저온부의 온도를 t_l, 중간 단계의 온도를 t_m이라고 한다면 저온부와 고온부 사이 그러니까 t_h와 t_l 사이에서 작동하는 카르노 기관의 효율은 이런 꼴로 나타날 것입니다.

\eta_{hl}=F(t_h,t_l)=1-\frac{Q_l}{Q_h}

Q는 카르노 기관에서 들어오거나 나가는 열의 양을 말하고, 첨자는 그 온도를 말합니다. 앞으로는 편의상 열을 주고받는 비율에 초점을 맞추겠습니다. 이 열을 주고받는 비율은 다음과 같이 식의 형태로 쓸 수 있지요.

\frac{Q_l}{Q_h}=f(t_h,t_l)

중간 단계에 걸쳐있는 나머지 두 카르노 기관에 대해서도 같은 식을 써 볼 수 있습니다.

\frac{Q_h}{Q_m}=f(t_h,t_m) \\\frac{Q_m}{Q_h}=f(t_m,t_l)

그리고 효율이 같다는 것에서 다음 식을 유도할 수 있습니다.

\eta_{hl}=1-\frac{Q_l}{Q_h}=\eta_{h|m|l}=1-\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\frac{Q_l}{Q_h}=\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\therefore f(t_h,t_l)=f(t_h,t_m)f(t_m,t_l)

마지막 식을 다음과 같이 정리할 수 있는데

\frac{f(t_h,t_l)}{f(t_m,t_l)}=f(t_h,t_m)

이렇게 되면 좌변에서만 t_l이 등장하므로, f는 변수분리가 가능한 함수가 됨을 알 수 있습니다. t_l만 변화했을 때 값이 변해서는 안 되기 때문에 분모인 함수가 t_l에 의해 받는 영향만큼 분자의 함수가 영향받아야 되기 때문이죠. 그러면 일단 함수를 나눈 다음 생각해 봅시다. 함수 f를 대충 분리해서

f(t_1,t_2)=\phi(t_1)\theta(t_2)

라고 둔다면

f(t_h,t_m)=\frac{\phi(t_h)}{\phi(t_m)}

을 얻게 되지요. 그런데 우리는 온도의 측정에 제한을 둔 적이 없기 때문에 함수 \phi를 온도를 정의하는데 사용할 수도 있습니다. 이를 열역학적 온도라고 부릅니다.

T=\phi(t)

이제 열역학적 온도를 이용해 카르노 기관의 열효율을 정의할 수 있게 됩니다.

\eta_{hl}=1-\frac{T_l}{T_h}=1-\frac{Q_l}{Q_h}

물론 이를 이용해 기준온도를 두고[각주:5] 다른 열역학적 온도를 측정하는 것도 가능하지요. 위의 식에서 흡수/방출하는 열이 온도와 정확히 비례하기 때문입니다.

T_2=\frac{Q_2}{Q_1}~T_1

이제 엔트로피를 도입할 수 있게 됩니다. 먼저 다음 값을 한번의 카르노 순환(cycle)에 대해서 계산해 봅시다.

\oint \frac{\delta Q}T

이때 Q는 계 안으로 흘러들어오는 열로 정의합니다. 단열과정에서는 열이 전혀 흐르지 않기 때문에 등온과정만 생각하면 되는데, 등온과정에서 T는 일정하므로 적분은 다음과 같습니다.

\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}+\frac{-Q_l}{T_l}

(두번째 항에 음의 부호가 붙어있는 이유는 저온부로 열이 방출되기 때문입니다.) 그런데 위에서 카르노 기관의 등온과정에서 흡수하거나 방출하는 열은 온도에 비례한다고 정의내렸었죠.[각주:6] 따라서 저 값은 영이 됩니다.

Q\propto T \\\therefore\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}-\frac{Q_l}{T_l}=0

더군다나 어떤 열역학적인 기구라고 하더라도 이상적으로만 작동하고 원래대로 돌아오는 주기운동을 하는 경우라면 수많은 작은 카르노 기관을 모아 만들 수 있습니다. 그러므로 이상적인 경우만 존재한다면 다음 결론을 얻습니다.

\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}=0

다른 뜻으로는, 위 미분값이 완전미분이라는 것이지요. 완전미분량이기 때문에 위 미분을 어떤 스칼라 함수의 미분으로 볼 수 있다는 것입니다. 스칼라 함수라면 상태에 의존하는 값이라는 의미고, 그러므로 상태에만 의존하는 이 스칼라 함수를 하나의 물리량으로 볼 수 있다는 뜻입니다. 이 물리량이 바로 엔트로피입니다. 대신 엔트로피의 차이만 정의되지 엔트로피의 절대값은 정의되지 않습니다. 위치에너지와 비슷하지요.[각주:7]

\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}= dS \\\therefore\oint dS=0

통계역학 이전의 열물리에서 엔트로피라는 물리량이 어떻게 얻어졌는지를 보이는 것은 끝났고, 열역학 제 2법칙의 또 다른 버젼인 '엔트로피는 계속 생성된다'는 다음에 다루어 보도록 하죠. 스포일러: 이건 어떤 순환이라고 하더라도 이상적인 경우보다 효율이 떨어진다는 사실을 이용해 증명합니다.



많이 오래 전에 쓰다 만 글이라 문체가 조금 다릅니다. 별로 상관없지만...-.-;;
  1. 열역학 제 1법칙에 대한 확실한 이해가 필요할 수 있습니다. 제 1법칙은 에너지 보존의 법칙과 동치입니다. [본문으로]
  2. 공리는 '증명 불가능한 가정'입니다. 수학에서도 공리를 필요로 하는 것처럼, 물리학에서도 공리를 필요로 합니다. 뉴턴역학에서는 뉴턴의 세 법칙으로 공리가 나타났지요. 양자물리에서는 슈레딩거 방정식이 공리로 이용됩니다. [본문으로]
  3. 확률적으로 가능성이 낮은 것이지 불가능한 것은 아닙니다. 열역학 제 2 법칙은 사실 진리라기보다는 확률적으로 어쩔 수 없이 성립하는 결과라는 것이 대체적인 입장이구요. [본문으로]
  4. 시험문제에 나오더군요 OTL. 노승탁, 『최신 공업열역학』4판, 문운당, p.103~105 [본문으로]
  5. 기준온도는 물의 삼중점으로 273.16K입니다. [본문으로]
  6. 보인 것이 아니라 정의한 것입니다. 열역학적 온도를 정의하면서 따라온 부가적인 정리에 가까우니까요. [본문으로]
  7. 일반상대론이 등장하면서 '절대값'이 중요해졌다는 것도 통계역학적으로 열역학을 다루기 시작하면서 엔트로피의 절대값이 중요해졌다는 것과 닮았습니다. [본문으로]

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우어어 ㅠ_ 열역학과 통계역학의 안좋은 추억이;;

    2010.08.06 00:45 신고
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우어어 이거 과학독서발표대회때 읽었던 안좋은 추억이;;

    2010.08.09 22:00 신고
  3. Favicon of https://inpresity.tistory.com BlogIcon presii  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    세상에...우어어...;;;

    2010.08.11 07:22 신고
  4. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    못쓰는 에너지죠? 그러니까 여러개 설명되던데.

    2010.08.17 02:08
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.10.23 01:43 신고  댓글주소  수정/삭제

      제레미 리프킨이 '못 쓰는 에너지'라는 정의로 사용하기는 했는데, 엄밀히 말하면 틀린 말이죠. 엔트로피는 에너지와 아예 다른 차원을 갖습니다. 물론 온도를 무차원량이라고 정의한다면 같은 종류의 것이 되기는 하지만, 일반적으로 단위가 붙어 있으면 그것을 하나의 차원으로 생각하거든요.

      고전 열역학에서의 엔트로피는 고전역학에서의 위치에너지 개념처럼 에너지와 온도를 이용한 식을 이리저리 돌려보다 보니 쓸만한 값을 찾아내 정의한 것으로 보아야 합니다. 반대로 통계역학에서는 엔트로피와 에너지가 먼저 정의되고 그 다음에 온도가 정의되지요.

  5. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물론 엔트로피가 에너지는 아니죠. T 를 곱해줘야 비로소 에너지가 되는데 그게 못쓰는 에너지가 되는게 아닌가 해서요. 엑서지 계산할 때도 다 빼주잖아요 ㅋ

    2010.10.26 21:22
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.12.18 11:51 신고  댓글주소  수정/삭제

      엑서지(exergy)는 전혀 다른 방법으로 계산하지 않던가요? 기억이 가물가물하네...

      여튼 깁스 자유에너지였나 헬렘홀츠 에너지였나 거기서는 엔트로피가 나왔던 것 같긴 한데 기억은 잘 안나네요... 그런데 그건 수학적 편의를 위해 도입했다고 보는게 옳다고 생각하는지라...

이야기꾼

Writer/Short 2010.07.24 12:33
간이 플라스틱 의자가 불편해질 즈음이었다.

"내가 어디까지 말했었더라?"

그는 태양을 등진 채 잔 두개가 놓여있는 네모난 플라스틱 쟁반을 들고 있었다. 나는 시린 햇살에 손그늘로 눈을 쉬게하며 대꾸했다.

"'사람이 반영구적으로 살게 된다면'까지 말하고 음료를 받으러 갔지"

두 잔이 탁자 위에 놓였다. 그를 위한 얼린 잔에 담은 시원한 흑맥주, 그리고 나를 위한 따뜻한 화이트 카페모카. 그는 살얼음이 떠 있는 흑맥주를 들이키고는 향을 음미했다. 이 녀석은 소재가 떨어졌다니까 준다고 해놓고서는 묻어갈 심산인가 의심이 들기 시작했을 때, 말을 하기 시작했다. 덕분에 첫 부분을 놓쳐버렸지만.

"... 통합이 이루어지겠지. 지금 미디어 환경이 돌아가는 것을 생각해보자고. 갈수록 발언권이 모두에게 주어지고 있고, 길이는 짧아지는데다가, 대화같은 모습을 띄기 시작한단 말이야."

"어, 잠깐만. 첫 부분 못 들었는데 다시좀.."

그는 말을 멈추더니 잠깐 한숨을 쉬었다.

"넌 어째 바뀐게 하나도 없냐. 정신 놓고 있다가 못 듣는것도 그렇고. 먼 미래에는 인류의 모든 정신이 통일된 하나의 유기체가 될 거라고."

"근거는?"

"그러니까 설명하고 있잖아. 미디어는 계속 '만인의 대화'로 수렴하고 있어. 모든 미디어의 원형인 기록으로 돌아가고 있는 것이지. 원전은 대화로 쓰인 게 많다는 건 너도 알고 있잖아?"

그는 여기까지 말하고는 탁자 위에 놓인 맥주잔으로 손을 뻗었다. 포도송이까지 있는 포도넝쿨 모양으로 깎아낸 나무를 기둥으로 세운 고급으로 보이는 유리탁자이다. 문득 이 카페 주인은 어떤 인물인지 궁금해진다. 플라스틱 의자에 이런 탁자를 조합하는 취향을 가진 사람은 어떻게 생겼을까. 물론 맥주와 커피를 같이 판다는 것부터 이상하기는 하지만.

"그리고 언젠가 인간이 기계와 바로 접속하는 시대가 올꺼야. 「매트릭스」에서처럼 정신이 기계로 바로 들어가는거지. 물론 영화에서처럼 선을 사용하는 구식은 아닐테지만 말이야."

"그리고 그렇게 오래된 영화를 끌어오는 너는 구식이지."

"이상한 소리 하지 말고 듣기나 해. 어쨌든 이렇게 모든 사람들이 서로에게 생각하는 것만으로도 대화를 나눌 수 있게 된다면 그 사람들의 생각을 연결하는 연결망은 어떤 모습이겠냐는거지."

"하이브마인드(Hivemind)라는 거냐?"

"그거야. 하이브마인드. 물론 개개인은 처음에는 나는 연결망에 접속된 다른 상대와 대화를 한다는 기분으로 살아가겠지. 하지만 그 후손들은 다를꺼야. 태어날 때 부터 그 거대한 연결망에 접속된 상태로 살아갈 거기 때문에 가면 갈수록 이것이 나의 생각인지 연결망에서 내려온 생각인지 구분할 수 없게 되겠지. 점차 연결망과 융합하는거야."

커피를 들었다. 이 허무맹랑한 소리를 중화해줄 포도당이 필요하다. 달달한 커피를 한 모금 마시고 나니 머리가 좀 덜 아파졌다. 그 와중에도 그는 계속 말을 이어갔다.

"죽은 사람들은 잊혀진 기억들이 될 것이고, 태어난 사람들은 엉뚱한 발상들이 되겠지. 마치 바다의 물고기 떼와도 같아. 하나 하나 살펴본다면 이쪽 무리에 있다가 저쪽 무리에 있다가 이리저리 움직이지만, 각 무리를 살펴본다면 무리 자체의 모습은 변하지 않지. 미래에 우리의 뇌가 연결되어 있을 연결망도 비슷한 모습일꺼야."

"그런데 사람이 반영구적으로 사는 건 무슨 상관이야?"

그는 잠시 목을 축이고는 말을 이었다.

"아, 그건 이제 중요해질꺼야."

그러면 처음에 다른 이야기로 시작할 것이지. 그가 주문한 것을 받으러 간 동안 떠올렸던 소설 첫머리가 쓸모없게 되어 버렸다.

"일단 미래에 통합된 정신이 등장한다는 것은 합의를 보았으니까, 사람이 거의 무한히 살아가게 될 때를 생각해보자고. 일단 내 결론은 사람이 태어나지 않는 시대가 올 것이라는거야."

"왜냐하면 자원은 한정되어 있으니까."

"...? 내가 하려던 말은 어떻게 안거야?"

"내가 해줬던 이야기잖아. 대체로 낳는 자손의 수는 수명과 반비례하는데, 그건 동족간의 경쟁을 최소한으로 줄이려는 현상이라고. 그렇다면 무한히 살아가는 생명체에게 생식은 먼 과거의 일이 되겠지."

한 삼사년 전에 말해준 공상인데 기억하고 있다니 살짝 놀랐다. 하긴, 그는 어릴 적부터 비상한 기억력으로 벼락치기 하나는 기똥차게 잘 했었지.

"어쨌든, 사람이 태어나지 않으면 미래의 인류 통합 사념체에게 재미있는 생각거리는 사라지게 되겠지. 특이한 발상의 진원이 더 이상 나타나지 않으니까 말이야."

"그래서?"

"통합된 사념은 분할할꺼야."

그는 이 한 마디만 하고 다시 맥주잔에 손을 대었다. 아니 이게 뭔소리야? 마음이 표정에 그대로 드러났는지 좀 더 설명할 필요가 있다는 듯 그는 말을 이어나갔다.

"혼자서 벽에다 대고 하는 이야기는 재미없잖아."

"이야기가 거기에서 왜 나와?"

"먼 과거부터 밤의 지루함을 달래주던 것이 이야기니까. 결국 새로운 자극이 없으니까 새로운 조합인 이야기를 지루함을 달래줄 약으로 선택하겠지. 하지만 혼자서 자기 자신에게 이야기를 들려주는 건 재미없어. 그러니까 그 통합사념은 나뉘어져서 서로 이야기를 주고받기 시작할 거야."

"아니 그래도.."

말 끝을 흐린건 여우비다. 파라솔이 없는 탁자여서 대화를 마치고 카페 안으로 들어갔다. 그 이후에도 다른 말을 했었던 것 같기는 한데, 밖에서 나누던 대화로 심란해 귀에 들어오지 않았다. 그래도 헤어져 각자의 집으로 돌아오면서 들은 대답은 기억난다.

"아, 그런데 과연 태어나면서부터 그 연결망에 접속될 가능성이 있을까? 아직 덜 자란 아이에게 나타나는 폭력성이 얼마나 잔인한지는 알잖아?"

"초등학생이 적분을 배우는 시대인데 그런 부모의 극성이 사라질 것 같아? 그것보다도 난 성선설을 믿어서. 더군다나 그렇게 큰 집단에 자정능력은 당연히 존재하겠지."

여튼, 나는 지금 내 방의 책상 앞에 앉아있다. 모레까지 보내기로 한 단편 원고를 오늘까지 쓰고 내일은 퇴고해야 한다. 딱히 다른 소재를 찾을 시간도 없어서 그가 주었던 소재를 그대로 쓰기로 결정했다. 인류의 미래가 다중인격장애라니, 참 인류의 운명도 기구하다.

그래서 그게 이야기의 끝이야? 나태(懶怠)가 묻는다. 다언(多言)이 대답한다. 끝이야. 잠자코 있던 탐욕(貪慾)이 고개를 든다. 뭐야. 너답지 않게 이야기가 너무 단순한 것 같은데? 그런가? 내 나름대로는 다채로운 이야기였다고 생각하는데. 너라면 무언가 더 끄집어낼 줄 알았지. 탐욕의 말이 끝나자 나태가 다시 말을 꺼낸다. 교만(驕慢), 너가 한번 이야기해봐라. 다언이 거든다. 그래, 너 이야기 하나는 멋지게 하잖아. 잠깐의 침묵. 그리고 교만이 입을 연다. 그렇다면 내가 너희들에게 최고의 이야기를 선사해주지. 교만은 점차 비대해지더니 모두를 집어삼킨다. 낮을 덮치는 어둠과도 같이. 그리고 이야기는 시작된다. 어둠의 소용돌이 속에서.

그래, 이제 시작인거지. 한번 숨을 내쉬고, 연필을 다시 잡는다. 이야기가 시작되는 것이다.

태초에 말이 있었다.

"빛이 있으라."

말은 힘이요, 언어는 권력이었다. 자신으로부터 자라난 세계가 모태를 삼키리라는 것을 모르는 듯 말은 세계의 이것저것을 빚어내었다. 빛을 모아 낮을 만들자 어둠은 모여 밤이 되었고, 부스러기를 긁어모아 땅을 만들자 남은 먼지는 모여 바다가 되었다. 이 모든 것이 아직 말에게 힘이 있었던 시대의 일이다.

여기까지 글을 쓴 후, 잠시 연필을 내려놓았다. 이 말은 써야 할 것 같았다. 잠시 고민하고는, 종이를 뒤집고 연필을 다시 집어들어 다시 써내려가기 시작했다.

간이 플라스틱 의자가 불편해질 즈음이었다.



본격 수미상관 소설. 문법에 어긋나는 문장이 많은데, 너그러이 봐주세요.

소설 속 소설의 첫 부분은 번역투와 비문이 난립하네요. 그래도 분위기를 살리는 것 같아서 그대로 두었습니다.

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  1.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    2010.07.25 18:26
  2. Favicon of https://wiessen.tistory.com BlogIcon 애기_똥풀  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 이야기입니다.

    2010.07.30 12:32 신고

인셉션 - 10점
크리스토퍼 놀란

정확한 평점은 4.7정도?

스포일러 위험이 있어서 보기 전에 알면 영화를 더 재미있게 볼 수 있는것만 소개하고, 나머지는 접어놓겠다.

프리퀄(prequel). The Cobol Job
http://movies.yahoo.com/feature/inception-comic.html

프리퀄을 보면 영화의 각종 설정을 좀 더 잘 이해할 수 있을듯 싶다. 영화의 기반이 되는 '남의 꿈에 들어간다'에 대한 내용과 팽이는 무엇인가, 꿈 속에서 죽으면 빠져나온다는 것, 이질적인 존재가 꿈에 개입했다는 것을 인지하면 꿈의 모든 신경이 집중된다는 것(사람들이 그쪽을 쳐다보다가 공격하기 시작한다) 등. 중요하기는 하지만 내용과는 상관없는 기타 설정중에는 '킥'이라는 것이 있고(중력에 대한 느낌은 꿈 속에서도 유지된다는 것을 이용해 잠을 깨우기 위해 중력 상태에서 갑자기 자유낙하를 경험하게 하는 것-물도 비슷한 역할을 하는듯) 림보(limbo-연옥. 그런데 그냥 림보라고 부른다)라고 꿈 속에서 잘못 죽으면 가장 깊은 무의식의 바다로 떨어지는 것도 있다. 하지만 이정도 이해하고 들어가면 나머지 사소한 설정들에 대해서는 영화를 보면서 쉽게 이해할 수 있다.


영화는 액션신이 대박이다. 중간에 무중력에서 싸우는 신이 나오는데 그게 CG가 아닌 와이어액션이랜다. 옷에까지 와이어를 달아가며 찍었다는데 그야말로 대단하다고밖에. 현실적이면서도 거기에 무언가를 비틀어 넣어 환상적인 장면을 만들어내는 감독의 실력에 감탄만 나온다. 도시가 접히는 장면과 에셔의 무한히 상승하는 계단(링크 참조)이 구현되는 장면만으로도 볼 만한 가치가 있다.

당신의 마음이 사건의 현장입니다. Your mind is the scene of the crime. - Inception


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Big Bang Big Boom

Daily lives 2010.07.16 10:25

BIG BANG BIG BOOM - the new wall-painted animation by BLU from blu on Vimeo.

아인슈타인 아져씨는 말했지. 세계 3차 대전은 어떨 지 몰라도 4차 대전에서는 돌과 막대기로 붙을꺼라고...

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    결국 지구는 종말할 수밖에요...

    2010.07.17 00:41 신고

2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

Electromagnetism in Schrodinger Eqn.이라는 글을 쓰다가 생각해보니 쓸데없는 식이 들어와 글을나누었다. 그러면 일단, 시작해보자.

Lagrangian을 사용하는 역학을 조금만 비틀어주면 Hamiltonian을 사용하는 정석적(?)인 Hamilton역학을 얻는다. 먼저 Lagrangian의 정의는 운동에너지와 위치에너지의 차이이다. 이 내용을 수식으로 쓴다면

L(q_i,\dot{q_i},t)=T-V=\frac12mv^2-V

이다. 그리고 Lagrangian을 이용한 운동방정식(Euler-Lagrange equation이라고 부른다)은 각 일반화된 좌표(generalized coordinates) q_i마다 다음과 같다.

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 일반화된 속도 벡터.(좌표의 시간변화율을 말한다.) 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}

이 값을 conjugate momentum이라고 부른다. 이제 Legendre 변환을 취한다.

H(q_i,p_i,t)= \sum_i p_i\dot{q_i}-L(q_i,\dot{q_i},t)

독립변수가 변하는 것에 주목할 것.(일반적으로 우변의 항은 일반좌표의 시간변화율 d(q_i)/dt가 남아있기 때문에 Hamiltonian으로 쓰려면 모두 p_i로 바꾸어야 한다.) 좌표를 일반적인 직교좌표계로 두고 계산해보자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{x_i}}=m\dot{x_i}\\H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+V\\H=\sum_i\frac{{p_i}^2}{2m}+V

얼레. 에너지다.(독립변수인 p_i로 쓴 점에 유의) 이래서 보통 Hamiltonian을 에너지라고 해석하기도 한다(양자역학을 배울 때 Hamiltonian을 에너지라고 가르치기도 하는데 그 이유가 여기있다). 그렇다면 운동방정식은 어떻게 될까? 우선 Lagrangian을 쓸 때 운동방정식은 이것이었다.

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

Hamiltonian은 일반좌표의 성분이 전부 Lagrangian에서 나오기 때문에(Hamiltonian은 Lagrangian의 일반좌표 q_i와 일반좌표의 시간변화율 d(q_i)/dt 두 독립변수 중 시간변화율을 conjugate momentum으로 바꾼 것이다. 따라서 앞쪽의 p_i는 일반좌표 q_i와 독립적인 변수가 되고, 따라서 편미분하면 0이 된다.)[각주:1] 위의 식을 이렇게 바꿀 수 있다.

\frac{\partial L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=\dot {p_i}\\\frac{\partial H}{\partial q_i}=-\dot{p_i}

하나의 운동방정식을 구했다. 이제 두 번째 운동방정식을 구할 차례다.(Lagrangian의 운동방정식이 N차원 변수 x의 값과 그 시간변화율에 대한 2계도함수라면 Hamiltonian의 운동방정식은 N차원 변수 x와 N차원 변수 p에 대한 1계도함수이다. 따라서 하나씩 더 필요.) 우선 Lagrangian과 Hamiltonian의 완전미분을 생각해보자.

dH= \sum_i (\dot{q_i}~dp_i + p_i~d\dot{q_i})-dL \\dL=\sum_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}~d\dot{q_i}+\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt

식을 정리하면 다음처럼 된다.(p_i의 정의를 이용)

dH= \sum_i \left(\dot{q_i}~dp_i + p_i~d\dot{q_i}-\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}~d\dot{q_i}-\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\dH= \sum_i \left(\dot{q_i}~dp_i -\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt

그런데 Hamiltonian은 conjugate momentum과 일반화된 좌표, 시간에 대한 종속변수이므로

dH= \sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial{p_i}}~dp_i+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}~dq_i\right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt

가 되어여만 한다.(완전미분의 정의를 생각해보자.) 언제 어디서나 어떤 경우에도 바로 위의 식과 그 위의 식이 일치해야 하므로, 우리가 내릴 수 있는 결론은

\frac{\partial H}{\partial{p_i}}=\dot{q_i}~,~\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}

이다. 그리고 Hamiltonian을 시간에 대해 완전 미분한 결과는

\frac{dH}{dt}=\sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial{p_i}}~\dot{p_i}+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}~\dot{q_i}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} \\=\sum_i\left(-\frac{\partial H}{\partial{p_i}}\frac{\partial H}{\partial{q_i}}+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}\frac{\partial H}{\partial{p_i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} \\=\frac{\partial H}{\partial t}

이라 Hamiltonian이 시간에 대한 explicit dependence가 없을 경우 일정한 값을 갖는다.

Lagrangian을 쓸 때와 Hamiltonian을 쓸 때의 차이점은 Lagrangian이 N개의 차원을 갖는 일반화된 좌표공간에서의 움직임을 2계도함수로 풀 때(Euler-Lagrange 방정식이 2계도함수이다) Hamiltonian은 2N차원의 일반화된 좌표-운동량공간(위상공간-phase space-으로 부른다)에서의 움직임을 1계도함수로 푼다는 것이다. 작아 보이는 차이지만 좌표와 좌표의 시간변화율은 완전히 독립이 아니기 때문에 perturbation[각주:2] 다룰 경우 Hamiltonian이 유리하다고 한다.(좌표와 운동량은 독립된 변수로 취급한다.)

다음번에는 Classical Dynamics of Particles and Systems 5판 7.11에 Hamilton's principle을 꼬아서 운동방정식을 유도하는 특이한 방법이 있어서 그걸 다뤄볼 생각이다. 아직 Lagrangian formulation(2)도 쓰지 않은 판에 이걸 쓸 지는 의문이기는 하지만. 이 방법이 Feynman의 경로적분(path integral)과 밀접한 관련이 있어보이는데 그것까지 할 지는 모르겠다.


ps. 고전역학에서 양자역학으로 넘어가는 데에는 위에 나온 미분방정식들보다는 푸아송 괄호(Poisson bracket)가 더 큰 역할을 했다. Shankar책에서 고전적인 계가 어떻게 양자역학적으로 바뀌는지에 대한 부분이 나오는데(아마 quantization이라고 하면서 푸아송 괄호를 commutator로 바꾸고 값에 ih-bar를 붙였던 것 같다) 참조하면 좋을 것이다.
  1. 그런데 그냥 변수가 다르니 편미분하면 0이라고 생각하는게 쉬울지도... [본문으로]
  2. Perturbation theory란 정확한 값을 구할 수 없기 때문에 근사값을 점차 좁혀가는 방법을 말한다. 원주율을 유리수의 합으로 계산하는 것과 비슷하다. [본문으로]

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    언제나 느끼는 거지만, 같은 수식인데도 수학의 수식과 물리의 수식은 느낌이 완전 다르네요 _-;;

    특히 양자역학은 _-;

    2010.07.14 20:42 신고
  2. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    텐서에서 좌절 중 OTL

    2010.07.17 12:13

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