적분놀이

Mathematics 2009.12.05 01:04
Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi

Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx - \left[\frac{\sin^2 x}x \right]_{-\infty}^\infty

뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx

그런데 잘 보면

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin 2x}x dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy

(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}x dx = \pi

Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

무한대의 비교: 자연수와 실수  (0) 2010.01.13
Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이  (2) 2009.12.17
각종 변환들  (0) 2009.12.15
Fourier 변환의 고유함수  (0) 2009.12.15
적분놀이  (0) 2009.12.05
Tensor(1)  (2) 2009.10.16
TAG ,

댓글을 달아 주세요

1 ··· 27 28 29 30 31 32 

글 보관함

카운터

Total : 654,472 / Today : 2 / Yesterday : 45
get rsstistory!