개드립의 마지막 정리

역시 하라는 일은 안 하고 스트레스나 풀 겸 <중간고사: 리로디드><무엇을 상상하든 그 이상을 낼 것이다!!>와 같은 이상한 카피문구를 박은 영화 패러디 포스터나 그려볼까 하고 생각하던 중에 다음과 같은 문제를 생각해내었습니다.(영화 포스터에는 시험지에 페르마의 마지막 정리를 낼 생각이었거든요. '주)여백은 충분하다'를 포함하고(...))

"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 nxn행렬 A, B, C에 대해

A^n+B^n=C^n

을 만족하는 경우는 없다.(n>2)"

결론부터 말하자면 틀렸습니다. 왜냐하면 다음 반례가 있거든요.

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}

맞지 않을까 기대하고(더군다나 처음엔 commutator [A,B]=[B,C]=[C,A]=0인 경우에는 맞다는 헛소리를 했습니다) 페이스북 타임라인에 올렸다가 교수님의 지적을 받고 깨갱(...) 다만 교수님이 찾아내신 반례는 다른 반례인 듯 합니다. 교환자가 0일 조건에서도 반례가 있다는 말을 하셨는데, 2차단위행렬을 I로, 파울리 행렬을 그냥 x, y, z로 쓸 때 I+(x-iy)/2를 고려해보라고 하셨으니까요. 구체적으로는 다음 행렬입니다.

\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

이건 아직 미스테리. 4x4 행렬에 embed해서 쓰는건가 싶기도 하고...

일단 제가 생각했던 교환자가 모두 0인 경우 성립하는 이유는 한번에 대각화가 된다고 가정했기 때문인데, 대각화가 되면 대각선의 각 성분인 고유값에 대해 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것이 되며, 자연수로만 이루어진 행렬은 고유값이 양의 유리수가 나와야 하고, 페르마의 마지막 정리는 자연수를 대상으로 한 것이지만 양의 유리수를 대상으로 확장하는 것은 일도 아니니까 "될 것이다!!"라고 결론을 내렸습니다. 그런데 정수만 있는 대각화가 가능한 행렬에서 고유값이 음수가 나올 수 있네요? 밑줄 친 부분이 틀렸습니다...=_=;;

\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

좋은 반례. 고유값은 3과 -1입니다. 역시 잠을 덜 잔 상태에서는 증명을 하면 안 됩니다.

하지만 여기서 멈출 수는 없는 법. 그러면 문제를 또 꼬아봅시다.

"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 대칭(symmetric) nxn행렬 A, B, C에 대해

A^n+B^n=C^n

을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"

대칭이라는 조건을 포함한 이유는 Schur's Theorem(혹은 Schur decomposition이라고 하는 모양입니다)을 써서 쉽게 증명할 수 있지 않을까 싶었기 때문입니다. 하지만 진짜로 알고 싶은(?) 문제는 다음 문제.

"역행렬이 있는 모든 성분이 격자 복소수(0을 포함)인 에르미트(Hermitian) mxm행렬 A, B, C에 대해

A^n+B^n=C^n

을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"

격자 복소수: z=a+bi라고 할 때, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}인 복소수 z를 말한다. 

물리량은 보통 에르미트 행렬로 표현되므로 양자화가 어디까지 가능한가에 대한 힌트가 될 수도 있지 않을까, 뭐 그렇게 생각하는 중입니다. 어쩌면 이차식(quadratic form)만 쓰는 이유에 대한 힌트를 제공해줄 수 있을지도 모르고요.(거리를 보통 피타고라스 정리를 이용하거나 피타고라스 정리를 확장한 리만기하학을 이용해 정의하곤 하지만 이차식이 아닌 삼차나 그 이상의 다항식으로 거리를 정의하는 방법도 있다고 합니다.)