'연산자'에 해당되는 글 3건

  1. 2009.12.14 운동량 연산자에 대해서(1) 7
  2. 2009.10.20 Time operator? 2
  3. 2009.04.25 Operator determination
양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla
3차원 공간에서 운동량 연산자. Wikipedia: Momentum operator

그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.

1. 어떤 연산이 있어 운동량에 대응된다.
\langle{p}\rangle=\int\psi^{\star}{p}\psi{dx}

2. 고전적인 운동량에 해당하는 값은 다음과 같다.
p_{classical}=m\frac{d}{dt}\langle{x}\rangle=m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}

3. 이미 알려진 Schrodinger 방정식을 적절히 손보면, 다음 식을 얻는다.[각주:1]m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}=\int\psi^\star{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}\psi{dx}

4. 여기서 운동량에 해당하는 연산을 찾을 수 있다.(연산자를 강조하기 위해 ^ 사용)
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
하나의 계에 대한 Schrodinger 방정식
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)
입자 하나에 대한 Schrodinger 방정식. Wikipedia: Schrodinger equation

H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?



쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
  1. Griffith 책에 있으니 생략. [본문으로]
  2. Schrodinger 방정식이라는 대전제 안에 운동량에 대한 가정이 포함되어 있고, 우리는 이 보이지 않는 가정을 일련의 과정을 통하여 벗겨낸 것일 뿐이다. [본문으로]

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Posted by 덱스터

2009. 10. 20. 20:37 Physics/Speculations

Time operator?

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]
Posted by 덱스터

2009. 4. 25. 09:52 Physics

Operator determination

x-space에서 위치와 운동량의 측정값을 나타내는 Operator는 다음과 같다.

\hat{x}\equiv{x}\\\hat{p}\equiv{-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}}

이를 더 간단한 k에 대해 나타내어 보자. 잘 알려진 바와 같이, 운동량 p는 k의 간단한 상수배이다.

p={\hbar{k}}\\\therefore\hat{k}={-i\frac\partial{\partial{x}}}

이제 각 알려진 연산자들에 대해 eigenstate를 구해보자. 먼저 x 연산자에 대해 x'이라는 eigenvalue를 얻어내는 eigenstate를 x에 대해 나타내면 다음과 같다.

\hat{x}|\varphi_{x'}\rangle=x'|\varphi_{x'}\rangle\\\therefore\,\langle{x}|\varphi_{x'}\rangle=\delta(x-x')

이는 k에도 마찬가지로 적용될 수 있다.

\hat{k}|\varphi_{k'}\rangle=k'|\varphi_{k'}\rangle\\\therefore\,\langle{k}|\varphi_{k'}\rangle=\delta(k-k')

각자의 eigenstate를 간단하게 쓰자.

|x\rangle\equiv|\varphi_x\rangle\\|k\rangle\equiv|\varphi_k\rangle

한편

\langle{x}|\hat{k}|k\rangle=-i\frac{d}{dx}\langle{x}|k\rangle=k\langle{x}|k\rangle\\\therefore\,\langle{x}|k\rangle=Ae^{ikx}

(주의 : 편미분 대신 일반적인 미분 d를 사용한 것은 eigenstate k를 x에 대한 함수로 취급하기 위함이다.)
여기서 A는 아직 정해지지 않은 상수이다. 한편

\int\langle{k'}|x\rangle{dx}\langle{x}|k\rangle=\langle{k'}|k\rangle=\delta(k'-k)

이므로

\langle{k'}|x\rangle=\frac1{2\pi{A}}e^{-ik'x}

을 얻는다. 앞의 상수가 일치하도록 조절하면(둘은 complex conjugate 관계라는 것을 고려한다)

\frac1{2\pi{A}}=A\\\therefore\,A=\frac1{sqrt{2\pi}}

을 얻는다. k 연산자는 k-space에서 단순한 상수로 나타나는데 그러면 x 연산자는 어떤 꼴로 나타날까? 구해보자.

\langle{k}|\hat{x}|x\rangle=x\langle{k}|x\rangle\\\hat{x}Ae^{-ikx}=xAe^{-ikx}\\\therefore\,\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}

(주의 : 변수는 k이기 때문에 이런 꼴로 나타나는 것이다.)
좀 더 명확하게 말하자면

\langle{k}|\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}\langle{k}|

이라고 할 수 있을 것이다. 이를 다시 p에 대해서 나타내면

\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|

라고 할 수 있다. 다음 두 식을 보면, 재미있는 대칭성이 존재한다는 것을 볼 수 있을 것이다.

\langle{x}|\hat{p}=-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}\langle{x}|\\\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|


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