진짜 오랜만의(...) 물리 이야기. 군대 복무하면서부터 구상했던 논문 주제가 결국 논문으로 나왔고, 발표도 했고, 학점도(...) 나왔다. 그리 잘 쓴 것 같지는 않지만 어떻게 생각이 이어지는지 log를 남겨두면 도움을 받을 법 한 사람들도 있으리라 생각되어서 최종 결과물과 거기에 다다르는데 있었던 생각의 도약들을 기록으로 남겨본다.

학점이 B+인건 아무래도 '선행연구 검토를 제대로 안해서'가 이유인듯 싶다. 사실 발표 한달 전 쯤(그러니까 논문 완성하기 3주 전 쯤) 구글스칼라를 돌면서 선행연구가 있는지 검토했었는데 전무했지만 발표하면서 기억이 안 나서 '기억상에는 없습니다'라고 불확실한 대답을 해버린지라...=_=;; 교수님이 연구 결과물보다는 연구 과정을 충실히 이행했는가를 중점으로 평가하시는 분이셔서 어쩔 수 없다.

주제는 '자기단극자의 무질량 극한에 대한 탐구'. 영문으로 쓰면서 좀 아쉬웠던 부분은 두 번 나오는 unfortunately 중 하나를 다른 표현으로 바꾸지 못한 것. 하나는 fortunately와 대구로 쓰였으니 상관없는데 다른건 바꿀 수 있지 않았을까. 초록에 나왔다시피 '에너지가 유한한 경우로는 존재할 수 없음'이 결론이다. 사실 좀 더 중요한 결론은 '유한한 에너지를 갖는 광속으로 이동하는 soliton은 존재하지 않는다'인 듯 싶지만.

thesis.pdf


아쉬운 점이라면 발표 후에 깨달은 논문상의 부호 문제(...). metric을 반대로 사용해서 정의할 때 부호를 반대로 썼어야 하는 식이 몇몇 있는데다가, 중간에 Stress-energy 텐서의 부호도 잘못 썼다. 어차피 각 항이 0이 되어야 한다는 조건인지라 결론 자체는 문제가 없지만. 왜 리뷰를 봐 주신 교수님들 중 아무도 이걸 지적하지 않은걸까(...).


Kinematic Angular Momentum의 양자화는 사실 자기장이 0인 조건에서만 성립하는데 그 부분도 생략했다. 뭐, 어차피 상관없겠지.


이상민 교수님께서 리뷰하신 후 "실력도 되는데 좀 더 큰 주제를 잡지 그랬냐"는 식으로 코멘트를 달아주셨는데 워낙 오래 전부터 생각했던 주제라 그냥 썼습니다(...).


Soliton을 다루는 건 이수종 교수님을 찾아갔더니 주제를 말씀드리자 Rubakov 책을 쿨하게 던저주셔서 시작. 그걸 한 학기 내내 거의 혼자서 팠다. 올해 봄학기동안 한 일의 70%는 저거였는듯.[각주:1] 그래서 봄학기에 가장 많은 스트레스의 원인이 되었던 과목이 생각보다 학점이 안 좋아서 한동안 푹 꺼져있기도 했다. 돌이켜보면 발표할 때 실수한 내 잘못이긴 하지만.


Soliton의 경우는 논문에서 사용한 좌표계에서 운동방정식을 만족하는 해를 찾으려 3주동안 손가락 한 마디 정도 되는 이면지를 써보았는데도(주로 내가 계산을 제대로 했는가 검산한거긴 하지만) 내가 사용하는 가정해(ansatz)가 해를 주지 못한다는 결론이 나와서 그냥 뒤집어서 '해가 아예 존재할 수 없음을 보여볼까?'를 시도한거다. 결과는 성공. 특정 형식을 갖는 Lagrangian들의 경우 finite energy&speed of light를 갖는 Soliton solution이 존재하지 않는다는 보다 일반적인 결론이다.


다음은 이수종 교수님을 만나서 신세계의 문(...)을 열기 전까지의 기록. 잘못 계산한 결과에서 도약했다는 것은 log 중간에 나온다. 흑역사도 잘 마무리하면 좋은 자양분이 될 수 있다는 한 사례가 되기를(...) 희망한다. '>>'로 표시된 것은 차후에 덧붙이는 주석.




2010/01/01 - 자기 단극자, Dirac String, 기타 등등


이런 글이 있었다. 아직도 비슷한 생각을 하고 있는지라 자기 단극자라는 개념에 대한 회의가 주된 고민거리이다.

처음에는 자기 단극자의 Lagrangian이나 Action Integral을 구하려고 했다. 문제는 그 형식이 어떨지 아예 감이 안 잡힌다는 것. 그래서 일반적으로 사용하는 벡터 포텐셜 A를 이용하면 문제가 생기나 봤더니, 벡터 포텐셜을 사용하게 되면 gauge symmetry는 당연하다는 결론만 얻게 되었다.

한창 보고 있는 책이 장론인지라 벡터 포텐셜을 이용해서 자기 단극자가 가질 수 밖에 없는 운동방정식을 텐서 형식으로 구하려고 했는데, 그것 마져도 실패했다. 그러면서 발견한 것이, 자기 단극자는 속도가 광속보다 매우 작은 경우에조차 갈릴레이 변환을 만족할 수 없는 운동방정식을 요구한다는 것이었다. 그렇다면 역으로 자기 단극자의 운동방정식은 전혀 다른 형식, 그러니까 질량이 없어서 광속보다 매우 작은 속도 자체가 불가능한 경우라는 결론에 도착했다. 그래서 지금은 질량없는 전하의 운동방정식을 어떻게 구해야 할까 고민하고 있다. 아무래도 전하가 자기 단극자보다는 다루기 쉬우니까 말이다.

시작은 Aharanov-Bohm 효과를 자기 단극자에서는 절대로 발견할 수 없다였는데[각주:2], 어느 순간 자기 단극자의 질량은 없다로 흘러가고 있다. 만약 그렇다면 magneton보다는 magnetino라는 이름으로 불러야 하지 않을까.

- 2011.10.02

Magnetino가 유도하는 전자기장 방정식을 구했다. 로렌츠 변환 대칭성을 이용해 운동 방향에 수직한 평면에만 전자기장이 존재하도록 하면(델타함수를 이용해 자하량을 만족시킨다) 운동 방향과 같은 방향으로의 로렌츠 변환에도 변하지 않는 전자기장을 만들 수 있다.(델타함수를 재규격화하는 것이 델타함수 이외의 항에서 나타나는 상수를 상쇄시킨다.) 문제는 벡터 포텐셜. 델타함수의 역미분이 애매하다.

재미있는 것은 이렇게 구한 벡터 포텐셜이 전하와 상호작용할 경우 필연적으로 뜬금없이 각운동량이 생성되어야 한다는 것인데, 이 각운동량을 상쇄할 수 있는 것은 자하나 전하 자체에 내재된 각운동량, 즉 스핀 뿐이라는 것. 스핀은 양자화되어있기 때문에 각운동량 또한 양자화되어 있어야 하고, 따라서 전하와 자하의 곱이 양자화되어야 한다. 우연인지 항상 생성되는 각운동량 또한 전하와 자하 사이의 수직거리와는 전혀 상관이 없다. Dirac 양자화 조건과 조금 다른 듯 싶지만 비슷한 결론이라는 것이 재미있다. 졸업논문을 쓰게 되면 이걸로 쓰면 되겠네.

-2012.03.01

Magnetic charge에 Lorentz invariance를 구현하는 방법은 없나? 현재까지 시도 결과는 없다는 결론만 나온다. 정말 답이 없는걸까? photon이 실존하는 particle(그러니까 고전적인 의미의 입자)이라 가정했을 때 얻는 energy-momentum tensor의 00항과 같은 transform을 갖는 것으로 보이긴 하는데...

>>00항과 같은 이유는 전자기장을 계산했기 때문이었다(...)

Classical limit에서의 equation of motion은 알려진 대칭적인 방정식 말고는 존재할 수 없음을 반쯤 증명했다. 서로에 대해 움직이는 magnetic charge와 electric charge가 상호작용하면서 서로에게 가하는 힘에서 운동에 linear한 term을 구할 수 있고 small loop current와 magnetic charge가 서로에 대해 정지해 있는 경우에 가해지는 힘에서 자기장에 선형적인 항을 구할 수 있다. 자기장과 운동에 선형적인 항은 없는지 의문.

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.04.21

Magnetic charge에 걸리는 Lorentz force가 사실은 Lorentz invariant이라는 것이 확실해졌다. 전혀 틀린 가정에서 재미있는(?) 결과를 도출해낸 셈. 이제 문제는 magnetic charge가 conjugate field를 생성한다고 할 때 equation of motion을 구할 수 있는가이다. 물론 Lagrangian을 이용해서.

>>여기서 conjugate field는 curl이 전기장이 되는 four-vector를 말한다.

-2012.05.04

자기단극에 가해지는 힘 중 자기장과 운동에 전부 선형적인 항은 존재할 수 없음은 자기단극 두개를 이어 붙여서 만든 자기모멘트와 작은 loop의 자기모멘트가 구분할 수 없다는 가정을 이용하면 구할 수 있다. 만약 그런 항이 존재한다면 자기장에서 자기모멘트가 움직일 때 토크가 있어야 하는데 loop의 경우에는 존재하지 않으므로.

Field theory적으로 접근해볼까 고민중. 그런데 가상광자가 각운동량도 전달할 수 있는건지 모르겠다. 각운동량 보존은 어디서 구해와야 하나...

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.6.2

젠장. 이미 비슷한 방식으로 quantisation을 완료한 논문이 European Journal of Physics에 실렸었다(2003). 그래서 이번에는 오히려 upper bound를 줄 생각. Dirac theory에 따르면 J_z가 보존되는 양이니까 가능할거란 생각이 든다. 문제는 Hamiltonian이 time independent할 경우에만 해당되는 내용이냐는 거지만. vacuum fluctuation과의 order of magnitude를 비교해봐야겠다.

>>해당 논문(2003 Eur. J. Phys. 24 111)의 링크: http://iopscience.iop.org/0143-0807/24/2/351/ 해당 논문에서는 vector potential을 사용하지 않기에 다른 내용이기는 하지만 내용이 겹치기는 한다.

-2012.11.13
... 


글을 공개로 바꾸면서 log를 다시 보니 난 수학에서나 요구할 법 한 논리적 엄밀성을 추구하는 별로 좋지 않은 버릇이 있는지도 모르겠다. 과감한 일반화가 물리의 미덕인데...

  1. 필요에 의해서 9장까지만 연습문제를 전부 풀어봤는데, 슬슬 나머지 장의 연습문제도 풀기 시작해야겠다. [본문으로]
  2. A-B 효과에서 자기장을 전기장으로 바꾸어주면 전기장 부분에서만 scalar potential을 요구하고 나머지에서는 모든 potential이 0이 되는 gauge를 취할 수 있다. [본문으로]

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