Dexter's story :: 적분놀이

2009. 12. 5. 01:04 Mathematics

적분놀이

Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi$

Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx - \left[\frac{\sin^2 x}x \right]_{-\infty}^\infty$

뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx$

그런데 잘 보면

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin 2x}x dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy$

(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}x dx = \pi$

Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

저작자표시 비영리 변경금지

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

무한대의 비교: 자연수와 실수 (0)	2010.01.13
Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이 (2)	2009.12.17
각종 변환들 (0)	2009.12.15
Fourier 변환의 고유함수 (0)	2009.12.15
Tensor(1) (2)	2009.10.16

Posted by 덱스터

일	월	화	수	목	금	토
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Dexter's story

적분놀이

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

카테고리

태그목록

공지사항

달력

최근에 올라온 글

최근에 달린 댓글

글 보관함

티스토리툴바