"이어폰 줄 이야기가 언제 끈이론이 된거야?"

트위터 타래들을 백업하기 시작한 김에 예상외로 히트쳤던^[각주:1] '4차원 이상의 공간에서의 매듭'을 주제로 했던 타래도 정리하기로 했다. 지금은 원 타래를 작성하게 된 계기를 모르겠는데 아마도 이어폰 줄의 엉킴과 관련된 불평이었던 듯 (e.g. "21세기인데 아직도 이어폰 줄 엉킴 하나 못 해결하는 인류를^[각주:2] 만물의 영장이라 할 수 있냐?" 대충 그런 계열의 불평).

 

지금 와서 생각해보니 스핀과도 관련이 있는 이야기라^[각주:3] 우리 우주를 구성하는 물질의 성질에 대해서도 이야기할 수 있었겠다는 생각이 드는데, 굳이 이 글에서 반복할 필요는 없을 듯.

 

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참고로 '(1차원 물체인) 끈으로 만드는 매듭'의 경우 3차원에만 존재할 수 있습니다. 4차원만 되어도 엉킨 매듭을 나머지 방향으로 밀어서 풀 수 있기 때문입니다. 4차원에서 '엉킴'을 만드려면 끈과 (2차원) 표면을 꼬아야 해요. https://t.co/cNOEMhYdYI

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

위 트윗에서 인용된 트윗에 실린 그림과 같이 3차원상의 공간에 놓인 끈을 2차원 표면에 그리는 방법을 투영(projection)이라고 합니다. 투영된 매듭을 동등한 다른 매듭으로 변형하는 방법을 라이데마이스터 변형(Reidemeister move)라고 부르죠.https://t.co/mfqrFJh4jj pic.twitter.com/tVcZe1gfGM

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

3차원상에 존재하는 매듭을 구분하는 방법으로 각 매듭에 대해 라이데마이스터 변형을 가해도 변하지 않는 수학적 물체를 대응시키는 방법이 있습니다. 그 중 하나로 존스 다항식(Jones polynomial)이 있죠.https://t.co/XGWdcQhaR8

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

여담으로 끈이론 관련해서 가장 유명한 물리학자 중 하나라고 할 수 있는 E. Witten은 존스 다항식을 구하는 문제를 3차원 Chern-Simons 이론의 물리학 문제로 바꿀 수 있다는 것을 보인 것으로도 유명합니다.

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

존스 다항식은 하나의 변수(보통 t라 씁니다)에 대한 다항식인데, 이렇게 Chern-Simons 이론의 물리학 문제와 대응시킬 수 있다는 것을 이용하여 일반화가 가능합니다. 이런 일반화된 불변량을 양자 매듭 불변량(quantum knot invariant)이라고 부르는데, 저는 잘 모르고 근처 수학과에게 문의하세요.

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

여담으로 모든 연결된 닫힌 가향(connected closed orientable) 3차원 다양체는 3차원 구(4차원에서 원점으로부터 일정한 거리만큼 떨어진 점들의 집합)에 매듭만큼의 공간을 빼면(Dehn surgery라 부릅니다) 얻을 수 있다는 것이 알려져 있습니다.

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

이렇게 만드는 3차원 공간을 이용해 보다 높은 차원에서 정의된 이론에서 보다 낮은 차원의 이론을 얻는데(Kaluza-Klein) 쓸 수 있기 때문에 끈이론을 하면서 매듭 이론을 연구하는 경우도 있습니다. 3d-3d 대응성이 이런 계열의 연구인데 제가 하는 주제는 아니라 여기까지만.

— Dexter Kim (@AstralDexter) September 17, 2020

1. 이 타래를 인스타그램(...)에 퍼간 사람이 있다는 말을 전해들은 적이 있다. 아니 왜...? [본문으로]
2. 엄밀히 이야기한다면 무선이어폰(..)이란 방법으로 해결하긴 했다. 문제가 되면 없애면 된다는 사고방식을 어디서 많이 본 것 같은 기분이 들지만 너무 깊게 생각히지는 말기로 하자. [본문으로]
3. 3(2+1)차원만의 독특한 입자인 anyon statistics와 연결된다. [본문으로]